填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$A(2,-1,-1), B(1, a, 2), C(3,1,2)$ 以及 $D(1,0,1)$ 共面, 则 $a=$
设直线 $l: \frac{1-x}{3}=y+1=\frac{3-z}{2}$ 在平面 $x-y+z=2$ 上的投影为 $l_1$, 则 $l_1$ 的方程为 ________ ,$l$ 绕 $l_1$ 旋转所得的曲面方程是 ________
矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right)^{101}=$ ________ , 行列式 $\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}3+a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\ a_2 b_1 & 3+a_2 b_2 & a_2 b_3 \\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & 3+a_3 b_3\end{array}\right)=$ ________
方阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -6 & 5\end{array}\right)$ 的最小多项式为 , Jordan 标准型为
在复线性空间 $M_3(\mathbb{C})$ (运算为矩阵的加法和乘法) 中, 考虑线性子空间
$$
V=\left\{X \in M_3(\mathbb{C}) \mid X\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 1 \\
-1 & 5 & 7
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\right\},
$$
则 $\operatorname{dim} V=$
设 $\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{12}} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\ 0 & a & b & \frac{1}{2}\end{array}\right)$ 为正交矩阵, 则 $a=$ ,$b=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
给定二次曲面在直角坐标下的方程 $x^2+y^2+z^2-x y-x z-y z-2 z+1=0$, 利用 正交变换和平移变换将其化为标准方程, 并判断这是什么类型的曲面.
考虑二阶复方阵 $M(\mathbb{C})$ 组成的复线性空间, 方阵 $A=\left(\begin{array}{ll}7 & 2 \\ 3 & 7\end{array}\right)$ 以及线性变换 $\mathscr{B}$ : $M_2(\mathbb{C}) \rightarrow M_2(\mathbb{C})$ 满足 $\mathscr{B}(X)=A X-X A$, 其中 $X$ 为任意 2 阶方阵, 试证明: $\mathscr{B}$ 是可对角 化的线性变换.
设 $V$ 是由次数不超过 3 的实系数多项式组成的线性空间. 对于任意的 $f(x), g(x) \in$ $V$, 定义 $(f(x), g(x))=6 \int_0^1 f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
(1) 证明: $(,)$ 给出了$ V$ 上的内积结构.
(2) 设 $W$ 为由 $1, x, x^3$ 生成的线性子空间 (于是, $W$ 为欧式空间), $U$ 为 $1, x$ 生成的线性子 空间, 试计算 $U$ 在 $W$ 中的正交补空间.
设 $n$ 阶实对称矩阵 $A, B$ 以及 $A+B$ 的正惯性指数分别为 $P_A, P_B$ 以及 $P_{A+B}$, 试 证明: $P_{A+B} \leqslant P_A+P_B$.
解线性常微分方程 $\left\{\begin{array}{l}\frac{d x_1}{d t}=x_1-x_2-x_3 \\ \frac{d x_2}{d t}=x_2-x_1-x_3 \\ \frac{d x_3}{d t}=x_3-x_1-x_2\end{array}\right.$, 其中 $x_i=x_i(t)$.