第十一届全国大学生数学竞赛（非数学专业）邀请赛试题

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第十一届全国大学生数学竞赛（非数学专业）邀请赛试题

一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{\sin x} + \sqrt[3]{1 - \cos x}) - \sin x}{\arctan (4 \sqrt[3]{1 - \cos x})} =

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2. 设隐函数

y = y (x)

由方程

y^{2} (x - y) = x^{2}

所确定，则

\int \frac{d x}{y^{2}} =

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3. 定积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{e^{x} (1 + \sin x)}{1 + \cos x} d x =

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4. 已知

d u (x, y) = \frac{y d x - x d y}{3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2}}

，则

u (x, y) =

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5. 设

a, b, c, μ > 0

，曲面

x y z = μ

与曲面

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

相切，则

μ =

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二、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 计算三重积分

∭_{Ω} \frac{x y z}{x^{2} + y^{2}} d x d y d z

，其中

Ω

是由曲面

{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} = 2 x y

围成的区域在第一卦限部分.

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7. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

上可微，

f (0) = 0

，且存在常数

A > 0

, 使得

| f^{'} (x) | \leq A | f (x) |

在

[0, + \infty)

上成立，试证明在

(0, + \infty)

上有

f (x) \equiv 0

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8. 计算积分

I = \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} e^{\sin θ (\cos ϕ - \sin ϕ)} \sin θ d θ

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9. 设

f (x)

是仅有正实根的多项式函数，满足

\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = - \sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} x^{n}

证明:

c_{n} > 0 (n \geq 0)

, 极限

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_{n}}}

存在，且等于

f (x)

的最小根.

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10. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

上具有连续导数，满足

3 [3 + f^{2} (x)] f^{'} (x) = 2 {[1 + f^{2} (x)]}^{2} e^{- x^{2}}

，且

f (0) \leq 1

. 证明：存在常数

M > 0

，使得

x \in [0, + \infty)

时，恒有

| f (x) | \leq M

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11. 已知曲线型构件

L : {\begin{cases} z = x^{2} + y^{2}, \\ x + y + z = 1 \end{cases}

的线密度为

ρ = | x^{2} + x - y^{2} - y |

, 求

L

的质量.

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