填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(e^{\sin x}+\sqrt[3]{1-\cos x}\right)-\sin x}{\arctan (4 \sqrt[3]{1-\cos x})}=$
设隐函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^2(x-y)=x^2$ 所确定，则
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{y^2}=
$$
定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=$
已知 $\mathrm{d} u(x, y)=\frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{3 x^2-2 x y+3 y^2}$ ，则 $u(x, y)=$
设 $a, b, c, \mu>0$ ，曲面 $x y z=\mu$ 与曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 相切，则 $\boldsymbol{\mu}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算三重积分 $\iiint_{\Omega} \frac{x y z}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其 中 $\Omega$ 是由曲面 $\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=2 x y$ 围成的区域在第一卦 限部分.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微， $f(0)=0$ ，且 存在常数 $A>0$, 使得 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq A|f(x)|$ 在 $[0,+\infty)$ 上成 立，试证明在 $(0,+\infty)$ 上有 $f(x) \equiv 0$.
计算积分
$$
I=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \int_0^\pi e^{\sin \theta(\cos \phi-\sin \phi)} \sin \theta \mathrm{d} \theta
$$
设 $f(x)$ 是仅有正实根的多项式函数，满足
$$
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n
$$
证明: $c_n>0(n \geq 0)$, 极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}}$ 存在，且等于 $f(x)$ 的最小根.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上具有连续导数，满 足 $3\left[3+f^2(x)\right] f^{\prime}(x)=2\left[1+f^2(x)\right]^2 e^{-x^2}$ ，且 $f(0) \leq 1$. 证明：存在常数 $M>0$ ，使得 $x \in[0,+\infty)$ 时，恒有 $|f(x)| \leq M$
已知曲线型构件 $L:\left\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2, \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ 的线密度为 $\rho=\left|x^2+x-y^2-y\right|$, 求 $L$ 的质量.