单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
样本数据 $6, ~ 8, ~ 4, ~ 5, ~ 12$ 的中位数为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
已知平面向量 $a, b$ 不共线，且 $2 a+y b=x a-3 b$ ，则
$\text{A.}$ $x=2, y=-3$
$\text{B.}$ $x=-2, y=3$
$\text{C.}$ $x=2, y=3$
$\text{D.}$ $x=-2, y=-3$
已知集合 $A=\left\{\sin \frac{7 \pi}{6}, \cos \frac{5 \pi}{3}, \tan \frac{5 \pi}{4}\right\}, B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}, 1\right\}$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{-\frac{1}{2}, 1\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}, 1\right\}$
曲线 $y=5 x+8 \ln x$ 在点 $(1,5)$ 处的切线方程为
$\text{A.}$ $y=3 x+2$
$\text{B.}$ $y=5 x$
$\text{C.}$ $y=8 x-3$
$\text{D.}$ $y=13 x-8$
已知抛物线 $C_1: y^2=2 p_1 x\left(p_1>0\right)$ 和 $C_2: x^2=2 p_2 y\left(p_2>0\right)$ 均经过点 $(4,8)$ ，则 $C_1$ 的焦点与 $C_2$ 的焦点之间的距离为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ $4 \sqrt{5}$
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{65}}{2}$
已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{e^{x+a}}$ 的最大值为 1 ，则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ 2
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_i(i=1,2, \cdots, 12)$ ，其中 $a_1=1, a_2=a_3=3, a_4=a_5=5$ ，且 $a_6, a_7, \ldots$, $a_{12}$ 是一个首项为 7 ，公差为 2 的等差数列．将 $a_1, a_2, \ldots, a_{12}$ 分为 6 组，每组 2 个数．使得每组的 2 个数之和可构成一个项数为 6 且公差为 $d(d>0)$ 的等差数列．则 $d=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
设 $U=\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \mid x_i \in\{-2,-1,1,2\}, i=1,2,3\right\}$ 为空间中 64 个点构成的集合。点 $P(1,1,1)$ ，记样本空间 $\Omega=\complement_U\{P\}$ 。从 $\Omega$ 中随机取一个点。定义随机变量 $X$ 如下：对 $\Omega$ 中的每个点 $A\left(x_1, x_2, x_3\right)$ ，令 $X(A)=x_1+x_2+x_3$ ．则 $X$ 的数学期望为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{21}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{63}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $\frac{1}{7}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
设 $z=3+2 \mathrm{i}$ ，则
$\text{A.}$ $\bar{z}=3-2 \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $|z|=5$
$\text{C.}$ $z^2=5+12 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{z+3}{z-1} \in \mathbf{R}$
在空间中，$A, B$ 为两个定点，动点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为 2 ，动点 $D$ 到直线 $A B$的距离为 1 ．若二面角 $C-A B-D$ 为 $60^{\circ}$ ，则
$\text{A.}$ $\angle C A D \geqslant 60^{\circ}$
$\text{B.}$ $C D \geqslant \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 当 $A B \perp C D$ 时，$C D \perp$ 平面 $A B D$
$\text{D.}$ 当 $A B \perp$ 平面 $A C D$ 时，$A C \perp A D$
已知圆 $C_1:(x+1)^2+y^2=1$ ，圆 $C_2:(x-1)^2+y^2=1$ ，圆
$C_3: x^2+(y-\sqrt{3})^2=1$ ，直线 $l: y=k x+b$ 与 $C_1, C_2, C_3$ 均有两个交点。记 $l$ 被 $C_1,C_2, C_3$ 截得的弦长分别为 $s_1, s_2, s_3$ ，则
$\text{A.}$ $k$ 可以取任意实数
$\text{B.}$ 满足 $s_1=s_2=s_3$ 的直线共有 3 条
$\text{C.}$ 满足 $s_1+s_2+s_3=3$ 的直线 1 多于 3 条
$\text{D.}$ 当 $b=0$ 时，$s_1+s_2+s_3$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
双曲线 $5 x^2-6 y^2=1$ 的离心率为
已知 $f(x)=2 \sin (a x+\theta)(a \in Z, 0 \leqslant \theta < 2 \pi)$ 是偶函数，$f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增．则 $\theta=, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=$
设实数 $q$ 满足：存在数列 $\left\{a_n\right\}$ ，使得对于任意 $n \in N^*$ ，均有均有 $a_1+a_2+\cdots+a_n=n^2+n$ ，且 $\left\{a_n\right\}$ 中有某连续 9 项 $a_{k+1} a_{k+1}, \cdots, a_{k+8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列．则 $q$ 的最大值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C$ ，且 $D 、 E$ 分别为 $A B$ 、 $A C_1$ 的中点．
（1）证明：$D E //$ 平面 $B C C_1 B_1$ ；
（2）设 $C C_1=2$ ，直线 $D E$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，求 $D E$ 到平面 $B C C_1 B_1$ 的距离．
在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=3, B C=2 \sqrt{3}, \cos B=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
（1）求 $\cos A$ ．
（2）设 $D, E$ 两点满足：$D$ 在 $B A$ 的延长线上，$D E //B C, A E \perp A C$ ．若 $D E=\sqrt{6}$ ，求 $C E$ ．
设整数 $N \geqslant 2$ ．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 $N$ 次，当且仅当投中 1次时或 $N$ 次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，各次投中与否相互独立．记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数．
（1）当 $N=4, p=\frac{1}{3}$ 时，求 $X$ 的分布列；
（2）设 $k, m$ 均为自然数．
（i）当 $k \leqslant N-1$ 时，求 $P(X>k)$ ；
（ii）当 $k+m \leqslant N-1$ 时，证明：$P(X>k+m \mid X>k)=P(X>m)$ ．
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-1,0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 0 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $P O$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$ ．
（i）若 $\triangle P Q R$ 的面积为 $\triangle P F O$ 的面积的3倍，求 $l$ 的方程；
（ii）求 $\tan \angle P Q R$ 的最小值．
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ，且当 $x < 0$ 时，$f(x)=2^x$ ．对于任意 $x_0 \in \mathbb{R}$ ，定义集合 $D\left(x_0\right)=\left\{d \in \mathbb{R} \mid f\left(x_0+d\right)>f\left(x_0\right)\right\}$ ．
（1）若当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)=1-x$ ，求 $D(-1)$ ；
（2）若 $f(x)$ 是奇函数，$f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$ ，且 $x_1 x_2 \neq 0$ ，证明：$D\left(x_2\right) \subseteq D\left(x_1\right)$ ；
（3）设 $f(x)$ 满足：（1）若 $f\left(x_1\right) \leqslant f\left(x_2\right)$ ，则 $D\left(x_2\right) \subseteq D\left(x_1\right)$ ；（2）当 $0 < x < 1$ 时， $f(x) < f(0)$.
（i）证明：$f(0) \geqslant 1$ ；
（ii）证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增．