已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ，且当 $x < 0$ 时，$f(x)=2^x$ ．对于任意 $x_0 \in \mathbb{R}$ ，定义集合 $D\left(x_0\right)=\left\{d \in \mathbb{R} \mid f\left(x_0+d\right)>f\left(x_0\right)\right\}$ ．
（1）若当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)=1-x$ ，求 $D(-1)$ ；
（2）若 $f(x)$ 是奇函数，$f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$ ，且 $x_1 x_2 \neq 0$ ，证明：$D\left(x_2\right) \subseteq D\left(x_1\right)$ ；
（3）设 $f(x)$ 满足：（1）若 $f\left(x_1\right) \leqslant f\left(x_2\right)$ ，则 $D\left(x_2\right) \subseteq D\left(x_1\right)$ ；（2）当 $0 < x < 1$ 时， $f(x) < f(0)$.
（i）证明：$f(0) \geqslant 1$ ；
（ii）证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增．