解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图所示，质量 $m=2.0 \mathrm{~kg}$ 的木块静止在高 $h=1.8 \mathrm{~m}$ 的水平台上，木块距平台右边缘 $l=10 \mathrm{~m}$ ，木块与平台间的动摩擦因数 $\mu=0.2$ ．用大小为 $F=20 \mathrm{~N}$ 、方向与水平方向成 $37^{\circ}$ 角的力拉动木块，当木块运动到水平台末端时撤去 $F$ ．不计空气阻力，$g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ， $\sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8$ ．求：
（1）木块离开平台时速度的大小；
（2）木块落地时距平台边缘的水平距离．
如图所示，一条轨道固定在坚直平面内，水平段 $a b$ 粗糙，其距离为 $s=3 \mathrm{~m}$ ．在 $b$点平滑过度，$b c d$ 段光滑，$c d$ 段是以 $O$ 为圆心、半径为 $R=0.4 \mathrm{~m}$ 的一小段圆弧。质量为 $m=2 \mathrm{~kg}$ 的小物块静止于 $a$ 处，在一与水平方向成 $\theta$ 角的恒力 $F$ 作用下开始沿轨道匀加速运动，小物块到达 $b$ 处时撤去该恒力，小物块继续运动到 $d$ 处时速度水平，此时轨道对小物块的支持力大小为 $F_{\mathrm{N}}=15 \mathrm{~N}$ ．小物块与 $a b$ 段的动摩擦因数为 $\mu=0.5, g$ 取 10 $\mathrm{m} / \mathrm{s}^2$ ．求：
（1）小物块到达 $b$ 点时的速度大小 $v_b$ ；
（2）恒力 $F$ 的最小值 $F_{\text {min }}$ 。（计算结果可以用分式或根号表示）
如图甲所示，物体 $A$ 放在粗糙的水平地面上， $0 \sim 6 \mathrm{~s}$ 时间内受到水平拉力 $F$ 的作用，力 $F$ 的大小如图乙所示，物体 $0 \sim 2 \mathrm{~s}$ 的运动情况如图丙所示，重力加速度 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ．试求：
（1）物体的质量；
（2）物体与地面的动摩擦因数；
（3） $0 \sim 6 \mathrm{~s}$ 内物体的位移大小。
传送带现已广泛应用于机场、商店等公共场所，为人们的生活带来了很多的便利．如图所示，一长度 $L=7 \mathrm{~m}$ 的传送带与水平方向间的夹角 $\alpha=30^{\circ}$ ，在电动机带动下以 $v= 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速率顺时针匀速转动。在传送带上端接有一个斜面，斜面表面与传送带表面都在同一平面内．将质量 $m=2 \mathrm{~kg}$ 可视作质点的物体无初速地放在传送带底端，物体经传送带作用后能到达斜面顶端且速度为零。若物体与传送带及物体与斜面间的动摩擦因数都为 $\mu=\frac{2 \sqrt{3}}{5}, g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）物体在从传送带底端运动到斜面顶端过程中传送带对物体所做的功；
（2）传送带上方所接的斜面长度．
如图所示，传送带 $A 、 B$ 之间的距离为 $L=3.2 \mathrm{~m}$ ，与水平面间夹角 $\theta=37^{\circ}$ ，传送带沿顺时针方向转动，速度恒为 $v=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，在上端 $A$ 点无初速放置一个质量为 $m=1 \mathrm{~kg}$ 、大小可视为质点的金属块，它与传送带的动摩擦因数为 $\mu=0.5$ ，金属块滑离传送带后，经过弯道，沿半径 $R=0.4 \mathrm{~m}$ 的光滑圆轨道做圆周运动，刚好能通过最高点 $E$ ，已知 $B$ 、 $D$ 两点的坚直高度差为 $h=0.5 \mathrm{~m}\left(g\right.$ 取 $\left.10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)$ ．试求：
（1）金属块经过 $D$ 点时的速度；
（2）金属块在 $B C D$ 弯道上克服摩擦力做的功．
某校兴趣小组制作了一个游戏装置，其简化模型如图所示，在 $A$ 点用一弹射装置将小滑块以某一水平速度弹射出去，沿水平直线轨道运动到 $B$ 点后，进入半径 $R=0.1 \mathrm{~m}$的光滑坚直圆形轨道，运行一周后自 $B$ 点向 $C$ 点运动，$C$ 点右侧有一陷阱，$C 、 D$ 两点的坚直高度差 $h=0.2 \mathrm{~m}$ ，水平距离 $s=0.6 \mathrm{~m}$ ，水平轨道 $A B$ 长为 $L_1=0.5 \mathrm{~m}, B C$ 长为 $L_2 =1.5 \mathrm{~m}$ ，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数 $\mu=0.4$ ，重力加速度 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ．
（1）若小滑块恰能通过圆形轨道的最高点，求小滑块在 $A$ 点弹射出的速度大小；
（2）若游戏规则为小滑块沿着圆形轨道运行一周离开圆形轨道后只要不掉进陷阱即为胜出．求小滑块在 $A$ 点弹射出的速度大小范围．
如图所示，倾角 $\theta=30^{\circ}$ 的斜面体固定在水平面上，一轻弹簧的下端固定在斜面底端的挡板上，轻弹簧处于原长时其上端位于 $C$ 点，一根不可伸长的轻质细绳跨过轻质滑轮连接物体 A 和 B，A、B 的质量分别为 4 kg 和 2 kg ，均可视为质点。物体 A 与滑轮间的轻绳平行于斜面，与斜面间的动摩擦因数 $\mu=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 。现使物体 A 从距离 $C$ 点 $L=\operatorname{lm}$ 处以 $v_0=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的初速度沿斜面向下运动。物体 A 向下运动将弹簧压缩到最短后，恰能回到 $C$点。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，不计空气阻力，整个过程中轻绳处于拉伸状态且物体 B 未与滑轮接触，不计滑轮摩擦。求：
（1）$A$ 沿斜面向下运动到 $C$ 点时轻绳的拉力；
（2）整个运动过程中弹簧的最大弹性势能；
（3）物体 $A$ 沿斜面向上运动过程中的最大速度。
如图所示，一弹簧左端固定在墙面上，右端在水平地面的 $A$ 点上，$A$ 点左侧地面光滑，$A B$ 段长 $l=0.5 \mathrm{~m}$ 且粗糙，$B$ 点右侧有长 $L=3.5 \mathrm{~m}$ 的水平传送带，以 $v_0=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度顺时针匀速转动，$C$ 点与倾角 $\theta=37^{\circ}$ 的足够长斜面平滑相连。现推动滑块（视为质点）压缩弹簧一段长度后释放。已知滑块与 $A B$ 段、传送带、斜面间的动摩擦因数分别
$\mu_1=\mu_2=0.4, \mu_3=0.25$ ，滑块的质量 $m=0.1 \mathrm{~kg}$ ，重力加速度 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，不计空气阻力。 $\sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8$ 。
（1）若滑块未滑上传送带，并最终静止在 $B$ 点，求弹簧被压缩到最大时具有的弹性势能；
（2）若滑块滑上传送带并经过 $C$ 点两次，最终静止在 $A$ 点，求：
① 滑块第二次经过 $C$ 点时的速度大小；
② 滑块第一次在传送带上运动过程中因摩擦产生的热量。
如图所示，$A B$ 是倾角为 $=45^{\circ}$ 的倾斜轨道，$B C$ 是一个水平轨道（物体经过 $B$ 处时无机械能损失），$A O$ 是一坚直线，$O 、 B 、 C$ 在同一水平面上。坚直平面内的光滑圆形轨道最低点与水平面相切于 $C$ 点，已知：$A 、 O$ 两点间的距离为 $h=1 \mathrm{~m}, B 、 C$ 两点间的距离 $d=2 \mathrm{~m}$ ，圆形轨道的半径 $R=1 \mathrm{~m}$ 。一质量为 $m=2 \mathrm{~kg}$ 的小物体（可视为质点），从与点水平距离 $x_0=4.9 \mathrm{~m}$ 的 $P$ 点水平抛出，恰好从 $A$ 点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道。小物体与倾斜轨道 $A B$ 、水平轨道 $B C$ 之间的动摩擦因数都是 $\mu=0.5$ ，重力加速度 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。
（1）求小物体从 $P$ 点抛出时的速度 $v_0$ 和 $P$ 点的高度 $H$ ；
（2）求小物体运动到圆形轨道最点 $D$ 时，对圆形轨道的压力大小；
（3）若小物体从 $Q$ 点（未在图中画出）水平抛出，恰好从 $A$ 点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道，且小物体不能脱离轨道，求 $Q 、 O$ 两点的水平距离 $x$ 的取值范围。
利用弹簧弹射和皮带传动装置可以将工件运送至高处．如图所示，已知传送轨道平面与水平方向成 $37^{\circ}$ 角，倾角也是 $37^{\circ}$ 的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数 $\mu=0.5$ ，皮带传动装置按顺时针方向匀速转动的速度 $v=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，两轮轴心相距 $L=10 \mathrm{~m}, B 、 C$ 分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．现将质量 $m=2 \mathrm{~kg}$ 的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至 $A$ 点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到皮带上的 $B$ 点时速度 $v_0=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ， $A 、 B$ 间的距离 $x=1 \mathrm{~m}$ 。工件可视为质点，$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\left(\sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8\right)$ 。求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）工件沿传送带上滑的时间。
如图所示，坚直平面内有水平光滑直轨道 $A B$ ，轨道左侧有一坚直光滑半圆轨道 $C D E$ ，其半径 $R=0.2 \mathrm{~m}$ ，最低点 $E$ 与水平传送带平滑连接。现一质量为 $m=10 \mathrm{~g}$ 、可视为质点的滑块压缩弹簧（滑块与弹簧不相连），静止释放后滑块沿轨道 $A B C D E$ 运动，$B C$ 之间有小缝可供滑块通过，然后滑上传送带，最后落在水平地面 $P$ 点。滑块与传送带之间的动摩擦因数 $\mu=0.4$ ，传送带的 $E F$ 长度 $L=0.6 \mathrm{~m}$ ，传送带轮子的半径 $r=0.1 \mathrm{~m}$ ，传送带以 $v=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度顺时针匀速转动，传送带下表面离地面高度 $h=0.6 \mathrm{~m}$ 。某次释放滑块时弹簧的弹性势能 $E_{\mathrm{p}}=0.02 \mathrm{~J}$ ，取 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。求：
（1）滑块运动到 $E$ 点时对轨道的压力大小；
（2）落地点 $P$ 离开传送带右端的水平距离 $\Delta \mathrm{x}$ ；
（3）若要使滑块的落地点在同一位置，弹性势能的取值范围是多少？
