单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
若集合 $A=\{x \mid-2 < x < 1\}, B=\{x \mid x < -1$ 或 $x>3\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{x \mid-2 < x < -1\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid-2 < x < 3\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid-1 < x < 1\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid 1 < x < 3\}$
已知命题 $p: x$ 为自然数, 命题 $q: x$ 为整数, 则 $p$ 是 $q$ 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
若 $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}, \sin 2 \alpha>0$, 则 $\tan (\pi-\alpha)$ 等于
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
设集合 $A=\{1,2\}$, 则满足 $A \cup B=\{1,2,3\}$ 的集合 $B$ 的个数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
若 $a < b < 0$, 则下列不等式不能成立的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{a-b}>\frac{1}{a}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
$\text{C.}$ $|a|>|b|$
$\text{D.}$ $a^2>b^2$
若集合 $A=\left\{x \mid a x^2-a x+1 < 0\right\}=\varnothing$, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,4)$
$\text{B.}$ $[0,4)$
$\text{C.}$ $(0,4]$
$\text{D.}$ $[0,4]$
已知 $x>0, y>0$, 且 $x+2 y=2$, 则 $x y$
$\text{A.}$ 有最大值为 1
$\text{B.}$ 有最小值为 1
$\text{C.}$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$
函数 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的零点个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知 $a=\log _2 9-\log _2 \sqrt{3}, b=1+\log _2 \sqrt{7}, c=\frac{1}{2}+\log _2 \sqrt{13}$, 则 $a, b, c$ 的 大小关系为
$\text{A.}$ $a>b>c$
$\text{B.}$ $b>a>c$
$\text{C.}$ $c>a>b$
$\text{D.}$ $c>b>a$
已知函数(1) $y=\sin x+\cos x$, (2) $y=2 \sqrt{2} \sin x \cos x$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 两个函数的图象均关于点 $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 成中心对称图形
$\text{B.}$ 两个函数的图象均关于直线 $x=-\frac{\pi}{4}$ 成轴对称图形
$\text{C.}$ 两个函数在区间 $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ 上都是单调递增函数
$\text{D.}$ 两个函数的最小正周期相同
函数 $y=\sin x$ 与 $y=\tan x$ 的图象在 $[-2 \pi, 2 \pi]$ 上的交点个数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 9
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
命题 $p: \forall x \in\{x \mid x$ 是三角形 $\}, x$ 的内角和是 $180^{\circ}$ 的 $\neg p$ 是
已知 $A, B$ 均为集合 $U=\{1,3,5,7,9\}$ 的子集, 且 $A \cap B=\{3\}, \complement_U B \cap A=\{9\}$, 则 $A=$
某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍, 且知病毒的繁殖规律为 $y=\mathrm{e}^{k k}($ 其 中 $k$ 为常数, $t$ 表示时间, 单位: 小时, $y$ 表示病毒个数), 则经过 5 小时, 1 个病 毒能繁殖为
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+3, x \geqslant 0, \\ \left(\frac{1}{2}\right) x, x < 0,\end{array}\right.$ 若方程 $f(f(x))-2=0$ 恰有三个实数根,
则实数 $k$ 的取值范围是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=x+\frac{m}{x}$, 且 $f(1)=3$.
(1) 求 $m$ 的值;
(2)判断函数 $f(x)$ 的奇偶性.
已知 $p: A=\left\{x \mid x^2-2 x-3 \leqslant 0, x \in \mathbf{R}\right\}, q: B=\left\{x \mid x^2-2 m x+m^2-9 \leqslant 0, x \in \mathbf{R}, m \in \mathbf{R}\right\}$.
(1) 若 $A \cap B=[1,3]$, 求实数 $m$ 的值;
(2)若 $\neg q$ 是 $p$ 的必要条件, 求实数 $m$ 的取值范围.
设 $\alpha, \beta$ 是锐角, $\sin \alpha=\frac{4 \sqrt{3}}{7}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{11}{14}$, 求证: $\beta=\frac{\pi}{3}$.
已知函数 $f(x)=a x^2+2 x+c\left(a \in \mathbf{N}^*, c \in \mathbf{N}^*\right)$ 满足:
①$f(1)=5$; ② $6 < f(2) < 11$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;
(2) 若对任意 $x \in[1,2]$, 都有 $f(x) \geqslant 2 m x+1$ 成立, 求实数 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\cos (\pi x+\varphi)\left(0 < \varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图象如图所示.
(1)求 $\varphi$ 及图中 $x_0$ 的值;
(2)设 $g(x)=f(x)+f\left(x+\frac{1}{3}\right)$, 求函数 $g(x)$ 在区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right]$ 上的最大值和最小值.
已知 $f(x)=\log _4(4 x+1)+k x(k \in \mathbf{R})$ 为偶函数.
(1)求 $k$ 的值;
(2) 若方程 $f(x)=\log _4\left(a \cdot 2^x-a\right)$ 有且只有一个根, 求实数 $a$ 的取值范围.