单选题 （共 17 题 ），每题只有一个选项正确
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 等于
$\text{A.}$ 3 ．
$\text{B.}$ 7 ．
$\text{C.}$ 8 ．
$\text{D.}$ 9 ．
设 $u_n=(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都收敛。
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都发散．
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 发散。
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛。
设 $\left\{u_n\right\}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$ ．
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{u_n}$ ．
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^2-u_n^2\right)$ ．
设常数 $\lambda>0$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\left|a_n\right|}{\sqrt{n^2+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散．
$\text{B.}$ 条件收敛。
$\text{C.}$ 绝对收敛．
$\text{D.}$ 敛散性与 $\lambda$ 有关．
若 $\sum_{n=1}^{\infty} n u_n$ 绝对收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{n}$ 条件收敛，则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 条件收敛。
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 绝对收敛．
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛。
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）
$\text{A.}$ 发散．
$\text{B.}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 绝对收敛．
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$有关
设 $\alpha$ 为常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n \alpha}{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
$\text{A.}$ 绝对收敛．
$\text{B.}$ 条件收敛。
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 取值有关．
设常数 $k>0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{k+n}{n^2}$
$\text{A.}$ 发散．
$\text{B.}$ 绝对收敛．
$\text{C.}$ 条件收敛．
$\text{D.}$ 敛散性与 $k$ 值有关．
下列级数中发散的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ ．
$\text{B.}$ $\sum_{n-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$ ．
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)$（ $k$ 为常数）
$\text{A.}$ 绝对收敛。
$\text{B.}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 有关．
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则必收敛的级数为
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{u_n}{n}$ ．
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ ．
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+u_{n+1}\right)$ ．
设 $p_n=\frac{a_n+\left|a_n\right|}{2}, q_n=\frac{a_n-\left|a_n\right|}{2}, n=1,2, \cdots$ ，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 都收敛。
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 都收敛．
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 敛散性都不定．
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 敛散性都不定．
设 $\left\{u_n\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛。
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛。
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛，则此级数在 $x=2$ 处
$\text{A.}$ 条件收敛。
$\text{B.}$ 绝对收敛。
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 敛散性不能确定．
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=$
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$.
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$.
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$.
$\text{D.}$ $2 \sin 1+3 \cos 1$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \\ 2-2 x, & \frac{1}{2} < x < 1\end{array} S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty\right.$,其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x,(n=0,1,2, \cdots)$ ，则 $S\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$ ．
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$ ．
设函数 $f(x)=x^2, 0 \leqslant x \leqslant 1, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty$ ，其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2,3 \cdots$ ，则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$ ．