单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
$P\{X=k\}=c\left(\frac{2}{3}\right)^k(k=1,2,3, \ldots)$ 是某随机变量的分布律，则 $\mathrm{C}=$ 。
$\text{A.}$ 2 ．
$\text{B.}$ 0.5 ．
$\text{C.}$ 1 ．
$\text{D.}$ 1.5
设随机变量 $Y$ 在 $(1,6)$ 上服从均匀分布，则方程 $x^2+Y x+1=0$ 有实根的概率为 。
$\text{A.}$ 0.2
$\text{B.}$ 0.4
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 0.6
在每次试验中事件 A 发生的概率为 0.5 ，如果作 100 次独立试验，记事件 A 发生的次数为随机变量 $X$ ，根据切比雪夫不等式估计 $P(40 < X < 60) \geq$ 。
$\text{A.}$ 0.5
$\text{B.}$ 0.75
$\text{C.}$ 0.25
$\text{D.}$ 1
若随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关，则下列结论不正确的是 。
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 独立
$\text{B.}$ $E(X Y)=E(X) E(Y)$
$\text{C.}$ $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$
$\text{D.}$ $D(X-Y)=D(X)+D(Y)$
设 $X_1, X_2$ 是取自服从正态分布 $N(\mu, 1)$ 的总体 $X$ 的样本，则下列估计量为总体期望 $\mu$ 的无偏估计量的是 。
$\text{A.}$ $X_1+X_2$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3} X_1+\frac{1}{4} X_2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{3}{4} X_2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{2} X_2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设事件 $A, B$ 是互不相容的，$P(A)=0.4, P(B)=0.3$ ，则 $P(\bar{A} \cap B)=$
已知随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \arctan x$ ．则 $P\{0 \leq X \leq \sqrt{3}\}=$
设随机变量 $X \sim N(2,9)$ ，则数学期望 $E\left(2 X^2-1\right)=$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，
$$
\sum^n X_k-n \mu
$$
$E\left(X_k\right)=\mu, D\left(X_k\right)=\sigma^2>0(k=1,2, \cdots)$ ，则随机变量 $Y_n=\frac{k=1}{\sqrt{n} \sigma}$ 的极限分布是
已知随机变量 $X \sim B(m, p)$（二项分布），$Y \sim B(n, p)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $X+Y$ 服从$\_\_\_\_$分布
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。试问：
（1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？
（2） 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？
袋中有大小、重量等完全相同的四个球，分别标有数字 $1,2,2,3$ ，现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以 $\mathrm{X} 、 \mathrm{Y}$ 记第一次和第二次取得球上标有的数字。求：
（1）$(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 的联合分布律；
（2） X 和 Y 的边缘分布律；
（3）判断 X 与 Y 是否独立。
某仪器装有 3 只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，概率密度函数为：$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{600} e^{-\frac{1}{600} x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，试求在仪器使用的最初 200 小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。
设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 $6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3$ ， $5.6,6.1,5.0$ 。设干燥时间总体服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，若由以往经验知 $\sigma=0.6$ ，求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间。 $\Phi(1.96)=0.975$
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} e^{-|x|},-\infty < x < +\infty$ ，证明 $Y=X^2$ 的概率密度为 $\mathrm{f}_{\mathrm{Y}}(\mathrm{y})=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2 \sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, & y>0 \\ 0, & y \leq 0\end{array}\right.$ 。
设一个人在一年中患感冒的次数 X 服从参数为 5 的泊松分布，假定正在销售一种新型特效药，对 $75 \%$ 的人群来说可将上述参数减小为 3 ，而对另外 $25 \%$ 的人群则无效，若某人试用此药一年，在试用期间患上了两次感冒，试运用贝叶斯公式分析此药对他有效的可能性是多少？