单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
若 $a$ 的倒数为 2 ，则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -2
方程 $\frac{x}{2}-1=2$ 的解是
$\text{A.}$ $x=2$
$\text{B.}$ $x=3$
$\text{C.}$ $x=5$
$\text{D.}$ $x=6$
如图所示，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上，若 $\angle D C E=132^{\circ}$ ，则 $\angle A=$
$\text{A.}$ $38^{\circ}$
$\text{B.}$ $48^{\circ}$
$\text{C.}$ $58^{\circ}$
$\text{D.}$ $66^{\circ}$
某月 1 日 -10 日，甲、乙两人的手机＂微信运动＂的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是
$\text{A.}$ 1 日 -10 日，甲的步数逐天增加
$\text{B.}$ 1日－6日，乙的步数逐天减少
$\text{C.}$ 第9日，甲、乙两人的步数正好相等
$\text{D.}$ 第11日，甲的步数不一定比乙的步数多
计算：$-4 \times \sqrt{\frac{1}{2}}=$
$\text{A.}$ $-2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ $-\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
《九章算术》之＂粟米篇＂中记载了中国古代的＂粟米之法＂：＂粟率五十，粝米三十 ．．．＂（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：＂ 50 单位的粟，可换得 30 单位的粝米…＂．问题：有 3 斗的粟 （ 1 斗 $=10$ 升），若按照此＂粟米之法＂，则可以换得的粝米为
$\text{A.}$ 1.8 升
$\text{B.}$ 16 升
$\text{C.}$ 18 升
$\text{D.}$ 50 升
不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x-2 \leqslant 0 \\ -x+1>0\end{array}\right.$ 的解集为（ ）
$\text{A.}$ $x < 1$
$\text{B.}$ $x \leqslant 2$
$\text{C.}$ $1 < x \leqslant 2$
$\text{D.}$ 无解
如图所示，在正六边形 $A B C D E F$ 内，以 $A B$ 为边作正五边形 $A B G H I$ ，则 $\angle F A I=$
$\text{A.}$ $10^{\circ}$
$\text{B.}$ $12^{\circ}$
$\text{C.}$ $14^{\circ}$
$\text{D.}$ $15^{\circ}$
二次函数 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的图象如图所示，点 $P$ 在 $x$ 轴的正半轴上，且 $O P=1$ ，设 $M=a c(a+b+c)$ ，则 $M$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $M < -1$
$\text{B.}$ $-1 < M < 0$
$\text{C.}$ $M < 0$
$\text{D.}$ $M>0$
某限高曲臂道路闸口如图所示，$A B$ 垂直地面 $l_1$ 于点 $A, B E$ 与水平线 $l_2$ 的夹角为 $\alpha\left(0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 90^{\circ}\right)$ ， $E F / / I_1 / / I_2$ ，若 $A B=1.4$ 米，$B E=2$ 米，车辆的高度为 $h$（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
（1）当 $\alpha=90^{\circ}$ 时，$h$ 小于 3.3 米的车辆均可以通过该闸口；
（2）当 $\alpha=45^{\circ}$ 时，$h$ 等于 2.9 米的车辆不可以通过该闸口；
（3）当 $\alpha=60^{\circ}$ 时，$h$ 等于 3.1 米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
据报道，2021年全国高考报名人数为 1078 万，将 1078 万用科学记数法表示为 $1.078 \times 10^n$ ，则 $n=$
抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是＂正面朝上＂的概率是
如图所示，线段 $B C$ 为等腰 $\triangle A B C$ 的底边，矩形 $A D B E$ 的对角线 $A B$ 与 $D E$ 交于点 $O$ ，若 $O D=2$ ，则 $A C=$
中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄茂、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：
则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为
点 $A\left(x_1, y_1\right) 、 B\left(x_1+1, y_2\right)$ 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上的两点，满足：当 $x_1>0$ 时，均有 $y_1 < y_2$ ，则 $k$ 的取值范围是
《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（＂蜨＂为＂蜨＂，同＂蝶＂），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图（1）中的＂樣＂和＂隻＂为＂样＂和＂只＂）。图（2）为某蝶几设计图，其中 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C B D$ 为 ＂大三斜＂组件（＂一樣二隻＂的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点 $P$ 处，点 $P$ 与点 $A$ 关于直线 $D Q$ 对称，连接 $C P 、 D P$ ．若 $\angle A D Q=24^{\circ}$ ，则 $\angle D C P=$ 度．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算：$|-2|+\sqrt{3} \sin 60^{\circ}-2^{-1}$
先化简，再求值：$\frac{2 x}{x^2-4} \cdot\left(1-\frac{2}{x}\right)-\frac{3}{x+2}$ ，其中 $x=\sqrt{2}-2$ ．
将一物体（视为边长为 $\frac{2}{\pi}$ 米的正方形 $A B C D$ ）从地面 $P Q$ 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点 $B$ 与斜面 $E F$ 上的点 $E$ 重合，先将该物体绕点 $B$（E）按逆时针方向旋转至正方形 $A B C_1 D_1$ 的位置，再将其沿 $E F$ 方向平移至正方形 $A_2 B_2 C_2 D_2$ 的位置（此时点 $B_2$ 与点 $G$ 重合），最后将物体移到车厢平台面 $M G$上．已知 $M G / / P Q, \angle F B P=30^{\circ}$ ，过点 $F$ 作 $F H \perp M G$ 于点 $H, F H=\frac{1}{3}$ 米，$E F=4$ 米．
（1）求线段 $F G$ 的长度；
（2）求在此过程中点$A$运动至点$A_2$所经过的路程．
目前，国际上常用身体质量指数＂BMI＂作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式： $B M I=\frac{G}{h^2}$（ $G$ 表示体重，单位：千克；$h$ 表示身高，单位：米）．已知某区域成人的 $B M I$ 数值标准为：$B M I < 16$为瘦弱（不健康）； $16 \leqslant B M I < 18.5$ 为偏瘦； $18.5 \leqslant B M I < 24$ 为正常； $24 \leqslant B M I < 28$ 为偏胖；$B M I \geqslant 28$ 为肥胖（不健康）．
（1）求这个样本中身体属性为＂正常＂的人数；
（2）某女性的体重为 51.2 千克，身高为 1.6 米，求该女性的 BMI 数值；
（3）当 $m \geqslant 3$ 且 $n \geqslant 2(m 、 n$ 为正整数）时，求这个样本中身体属性为＂不健康＂的男性人数与身体属性为 ＂不健康＂的女性人数的比值．
某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计： （男性身体属性与人数统计表）
如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y=2 x$ 的图象 $l$ 与函数 $y=\frac{k}{x}(k>0, x>0)$ 的图象（记为 $\Gamma$ ）交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $A B \perp y$ 轴于点 $B$ ，且 $A B=1$ ，点 $C$ 在线段 $O B$ 上（不含端点），且 $O C=t$ ，过点 $C$ 作直线 $I_1 / / x$ 轴，交 $I$ 于点 $D$ ，交图象 $\Gamma$ 于点 $E$ ．
（1）求 $k$ 的值，并且用含 $t$ 的式子表示点 $D$ 的横坐标；
（2）连接 $O E 、 B E 、 A E$ ，记 $\triangle O B E 、 \triangle A D E$ 的面积分别为 $S_1 、 S_2$ ，设 $U=S_1-S_2$ ，求 $U$ 的最大值．
已知二次函数 $y=a x^2+b x+c(a>0)$ ．
（1）若 $a=\frac{1}{2}, b=c=-2$ ，求方程 $a x^2+b x+c=0$ 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A\left(x_1, 0\right) 、 B\left(x_2, 0\right)$ ，且 $x_1 < 0 < x_2$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $O C$ 上，连接 $A C 、 B D$ ，满足 $\angle A C O=\angle A B D,-\frac{b}{a}+c=x_1$ ．
① 求证：$\triangle A O C \cong \triangle D O B$ ；
② 连接 $B C$ ，过点 $D$ 作 $D E \perp B C$ 于点 $E$ ，点 $F\left(0, x_1-x_2\right)$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $A F$ ，且 $\angle A C O=\angle C A F+\angle C B D$ ，求 $\frac{C}{x_1}$ 的值．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图所示，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，点 $F$ 在线段 $A B$ 的延长线上，连接 $E F$ 交线段 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $B D$ ，若 $D E=B F=2$ ．
（1）求证：四边形 $B F E D$ 是平行四边形；
（2）若 $\tan \angle A B D=\frac{2}{3}$ ，求线段 $B G$ 的长度．
如图所示，$A B$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C 、 D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $B D$ 交线段 $O C$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $C F$ 于点 $F$ ，若 $O C=3 C E$ ，且 $9\left(E F^2-C F^2\right)=O C^2$ ．
（1）求证：直线 $C F$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）连接 $O D 、 A D 、 A C 、 D C$ ，若 $\angle C O D=2 \angle B O C$ ．
① 求证：$\triangle A C D \sim \triangle O B E$ ；
② 过点 $E$ 作 $E G / / A B$ ，交线段 $A C$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $A C$ 的中点，若 $A D=4$ ，求线段 $M G$ 的长度．
