如图所示，$A B$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C 、 D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $B D$ 交线段 $O C$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $C F$ 于点 $F$ ，若 $O C=3 C E$ ，且 $9\left(E F^2-C F^2\right)=O C^2$ ．
（1）求证：直线 $C F$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）连接 $O D 、 A D 、 A C 、 D C$ ，若 $\angle C O D=2 \angle B O C$ ．
① 求证：$\triangle A C D \sim \triangle O B E$ ；
② 过点 $E$ 作 $E G / / A B$ ，交线段 $A C$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $A C$ 的中点，若 $A D=4$ ，求线段 $M G$ 的长度．