已知二次函数 $y=a x^2+b x+c(a>0)$ ．
（1）若 $a=\frac{1}{2}, b=c=-2$ ，求方程 $a x^2+b x+c=0$ 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A\left(x_1, 0\right) 、 B\left(x_2, 0\right)$ ，且 $x_1 < 0 < x_2$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $O C$ 上，连接 $A C 、 B D$ ，满足 $\angle A C O=\angle A B D,-\frac{b}{a}+c=x_1$ ．
① 求证：$\triangle A O C \cong \triangle D O B$ ；
② 连接 $B C$ ，过点 $D$ 作 $D E \perp B C$ 于点 $E$ ，点 $F\left(0, x_1-x_2\right)$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $A F$ ，且 $\angle A C O=\angle C A F+\angle C B D$ ，求 $\frac{C}{x_1}$ 的值．