解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 有一阶连续导数，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=1$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-1}{\ln f(x)}$ ．
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^2+1}\left(\arctan \frac{n+1}{n}-\frac{\pi}{4}\right)$ ．
试证方程 $x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}=1$ 对任何不小于 2 的正整数 $n$ ，在 $(0,1)$ 内都有唯一实根 $x_n$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足：$a < x_1 < b, x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, f(a)=0$ ．
（1）证明 $x_n>a$ ；
（2）证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求其值．
（1）设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的非负可积函数，且 $\int_0^T f(x) d x=a$ ，证明
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(x) d x=\frac{a}{T} ;
$$
（2）（上海市1991年竟赛题）设 $f(x)=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(x) d x$ ．
设 $f(x)$ 在 $R$ 上二阶可导且 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可导，$f(0)=1, f(x)>0$ ，且满足
$$
\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f\left(x+h \cos ^2 x\right)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}=e^{x \cos ^2 x+\tan x} \text {, }
$$
求 $f(x)$ 的表达式及其极值．
设
$$
f(x)= \begin{cases}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\cos \frac{x}{n}+\cos \frac{2 x}{n}+\cdots+\cos \frac{n-1}{n} x\right), & x>0 \\ \lim _{n \rightarrow}\left[1+\frac{1}{n!}\left(\int_0^1 \sqrt{1+x^3+x^5} d x\right)^n\right], & x=0 \\ f(-x), & x < 0\end{cases}
$$
（1）讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性；
（2）求 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的最大值．
（积分第二中值定理）（1）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上非负、单调减少，且具有连续导数．证明：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x .
$$
（2）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上单调并具有连续导数．证明：存在 $\xi \in [a, b]$ ，使得
$$
\int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x+g(b) \int_{\xi}^b f(x) d x .
$$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可导，$f(0)=0$ ，求证：
$\exists \eta \in[0,1]$ ，使 $f^{\prime}(\eta)=2 \int_0^1 f(x) d x$ 。