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设 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可导，$f(0)=1, f(x)>0$ ，且满足

$$
\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f\left(x+h \cos ^2 x\right)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}=e^{x \cos ^2 x+\tan x} \text {, }
$$


求 $f(x)$ 的表达式及其极值．
                        
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