解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x), g(x)$ 定义在 $(-a, a)$ 上，且有
$$
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant\left|g\left(x^{\prime}\right)-g\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \quad\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(-a, a)\right) .
$$
若存在极限 $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)$ ，则存在极限 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ ．
(1) $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( e ^{-1}\right) e ^{1 / n}}{n\left( e ^{1 / n}-1\right)}$.
(2) $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}+\frac{\alpha^2}{2 n^2}\right)^{-n}$.
(3) $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\right)^{2 n-2}$.
(4) $I=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(x^{1 / n}-x^{1 / 2 n}\right)(x>0)$.
$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^n(a>0, b>0, c>0)$.
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+a_n}\right)^n\left(a_n=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)\right)$ 。
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\arctan \frac{1}{n}-\arctan \frac{1}{n+1}\right)$ ．
试证明不等式
$$
\left(1-2 x^n+x^{n+1}\right)^n < \left(1-x^n\right)^{n+1} \quad\left(n \geqslant 2,0 < x < \frac{n}{n+1}\right) .
$$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n}^{2 n} \sin \frac{\pi}{k}$ ．
试证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^p \sin (\sqrt{2}+1)^n \pi=0(p \geqslant 0)$ ．
试求下述数列极限：
（1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n\left(\sqrt[3]{1+\frac{k}{n^2}}-1\right)$ ．
（2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k a}{n^2}$ ．
设 $f(x)$ 定义在 $[a, b]$ 上。若对任意的 $t \in[a, b]$ ，均存在极限 $\lim _{x \rightarrow t} f(x)$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。