单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ ，则（ ）
$\text{A.}$ 直线 $B C_1$ 与 $D A_1$ 所成的角为 $90^{\circ}$
$\text{B.}$ 直线 $B C_1$ 与 $C A_1$ 所成的角为 $90^{\circ}$
$\text{C.}$ 直线 $B C_1$ 与平面 $B B_1 D_1 D$ 所成的角为 $45^{\circ}$
$\text{D.}$ 直线 $B C_1$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$P$ 为 $B_1 D_1$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_1$ 所成的角为（）
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$
如图，点 $N$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，$\triangle E C D$ 为正三角形，平面 $E C D \perp$ 平面 $A B C D, M$ 是线段 $E D$ 的中点，则（ ）
$\text{A.}$ $B M=E N$ ，且直线 $B M, E N$ 是相交直线
$\text{B.}$ $B M \neq E N$ ，且直线 $B M, E N$ 是相交直线
$\text{C.}$ $B M=E N$ ，且直线 $B M, E N$ 是异面直线
$\text{D.}$ $B M \neq E N$ ，且直线 $B M, E N$ 是异面直线
如图所示，$A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 是长方体，$O$ 是 $B_1 D_1$ 的中点，直线 $A_1 C$ 交平面 $A B_1 D_1$ 于点 $M$ ，则下列结论正确是（ ）
$\text{A.}$ $A, M, O$ 三点共线
$\text{B.}$ $A, M, O, A_1$ 不共面
$\text{C.}$ $A, M, C, O$ 不共面
$\text{D.}$ $B, B_1, O, M$ 共面
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E$ 为棱 $C C_1$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C D$ 所成角的正切值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{7}}{2}$
如图，在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 $E, F$ 分别在 $A_1 D, A C$ 上，且 $A_1 E=2 E D$ ， $C F=2 F A$ ，则 $E F$ 与 $B D_1$ 的位置关系是（ ）
$\text{A.}$ 相交但不垂直
$\text{B.}$ 相交且垂直
$\text{C.}$ 异面
$\text{D.}$ 平行
如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A A_1=2 A B=2$ ，则异面直线 $A_1 B$ 与 $A D_1$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=B C=1, A A_1=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_1$ 与 $D B_1$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，底面 $A B C$ 为等腰直角三角形，且斜边 $B C=2, D$ 是 $B C$ 的中点，若 $A A_1=\sqrt{2}$ ，则异面直线 $A_1 C$ 与 $A D$ 所成角的大小为（ ）
$\text{A.}$ $30^{\circ}$
$\text{B.}$ $45^{\circ}$
$\text{C.}$ $60^{\circ}$
$\text{D.}$ $90^{\circ}$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，已知空间四边形 $A B C D, E, F$ 分别是 $A B, A D$ 的中点，$G, H$ 分别是 $B C, C D$ 上的点，且 $C G=\frac{1}{3} B C$ ， $C H=\frac{1}{3} D C$ ．求证：
（1）$E, F, G, H$ 四点共面；
（2）直线 $F H, E G, A C$ 共点．
如图，$A$ 是 $\triangle B C D$ 所在平面外的一点，$E, F$ 分别是 $B C, A D$ 的中点．
（1）求证：直线 $E F$ 与 $B D$ 是异面直线；
（2）若 $A C \perp B D, A C=B D$ ，求 $E F$ 与 $B D$ 所成的角的大小．
