单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
定义 $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c$ ，已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，且 $a_{3}=1,\left|\begin{array}{cc}a_{6} & 8 \\ 8 & a_{8}\end{array}\right|=0$ ，则 $a_{7}=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\pm 4$
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ $\pm 8$
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q(q > 0$ 且 $q \neq 1)$ ，若 $a_{6}+8 a_{1}=a_{4}+8 a_{3}$ ，则 $q$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒 $\qquad$依此规律，放满棋盘的 64 个格子所需小麦的总重量大约为 吨．（ 1 kg 麦子大约 20000 粒， $1 \mathrm{~g} 2=0.3$ ）
$\text{A.}$ $10^{5}$
$\text{B.}$ $10^{7}$
$\text{C.}$ $10^{12}$
$\text{D.}$ $10^{15}$
等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $S_{19}=19$ ，则 $a_{3}+a_{17}$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, S_{n}=2 a_{n+1}$ ，则 $a_{4}=$
$\text{A.}$ $\frac{27}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{9}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{27}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{8}$
已知函数 $f(x)=n x+\ln x\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ 的图象在点 $\left(\frac{1}{n}, f\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ 处的切线的斜率为 $a_{n}$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{n+1}$
$\text{B.}$ $\frac{3 n^{2}+5 n}{2(n+1)(n+2)}$
$\text{C.}$ $\frac{n}{4(n+1)}$
$\text{D.}$ $\frac{3 n^{2}+5 n}{8(n+1)(n+2)}$
（2023•广东揭阳•校考模拟预测）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\frac{a_{2021}}{a_{2020}} < -1$ ，且它的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最大值，则（ ）
$\text{A.}$ $S_{2019}$ 是 $S_{n}$ 中最大值，且使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最大值为 2019
$\text{B.}$ $S_{2020}$ 是 $S_{n}$ 中最大值，且使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最大值为 2020
$\text{C.}$ $S_{2020}$ 是 $S_{n}$ 中最大值，且使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最大值为 4039
$\text{D.}$ $S_{2020}$ 是 $S_{n}$ 中最大值，且使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最大值为 4040
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
（2022－江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测）已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{9}$ $=S_{17}$ ，下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ $a_{8}=0$
$\text{B.}$ $a_{9}=0$
$\text{C.}$ $a_{1}=S_{16}$
$\text{D.}$ $S_{8} > S_{10}$
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ 数列 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 是等差数列
$\text{B.}$ 数列 $\left\{S_{2 n+2}-S_{2 n}\right\}$ 是等差数列
$\text{C.}$ 数列 $\left\{\frac{T_{2 n+2}}{T_{2 n}}\right\}$ 是等比数列
$\text{D.}$ 数列 $\left\{\lg T_{n}\right\}$ 是等差数列
已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n}=2^{n+1}+a$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $a=-2$
$\text{B.}$ $a=-1$
$\text{C.}$ $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\mathrm{L}+a_{10} a_{11}=\frac{2^{13}-8}{3}$
$\text{D.}$ $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\mathrm{L}+a_{10} a_{11}=\frac{2^{23}-8}{3}$
南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为＂三角垛＂＂三角垛＂的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，．．．，设各层球数构成一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，且 $a_{1}=1$ ，数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则正确的选项是（ ）。
$\text{A.}$ $a_{4}=12$
$\text{B.}$ $a_{n+1}=a_{n}+n+1$
$\text{C.}$ $S_{n}=\frac{2 n}{n+1}$
$\text{D.}$ $a_{100}=4950$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：＂三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关．＂则此人在第六天行走的路程是 $\qquad$里（用数字作答）。
已知正项等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n}=a_{3 n}$ ，且 $a_{4}$ 是 $a_{3}-3$ 与 $a_{8}$ 的等比中项，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=$
$\qquad$ ．
记数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，写出一个同时满足（1）（2）的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式：$a_{n}=$ $\qquad$ ．
（1）$\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列；（2）$T_{3}=T_{6}$ ．
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=3$ 且 $a_{n+2}-2 a_{n+1}+a_{n}=2$ ，则 $a_{4}-a_{3}=$ $\qquad$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=$ $\qquad$ ．
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}-1$ ．
（1）求证：数列 $\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列；
（2）若 $b_{n}=a_{n}+n$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=2, S_{4}=26$ 。正项等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中，$b_{1}=2, b_{2}+b_{3}=12$ 。
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{a_{n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，$a_{1}=3, b_{1}=1, b_{2}+S_{2}=10$ ， $a_{5}-2 b_{2}=a_{3}$.
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $c_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{S_{n}}, n \text { 为奇数 } \\ b_{n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，设数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n+1}, b_{1}=1, b_{n+1}=\frac{2 n+1}{2 n-1} b_{n}$ ．
（1）求证：$\left\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\right\}$ 为等差数列，并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式；
（2）若 $c_{n}=\frac{n b_{n}}{a_{n}}$ ，记 $\left\{c_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，对任意的正自然数 $n$ ，不等式 $T_{n} < \lambda$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的范围．