南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为＂三角垛＂＂三角垛＂的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，．．．，设各层球数构成一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，且 $a_{1}=1$ ，数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则正确的选项是（ ）。
A. $a_{4}=12$
B. $a_{n+1}=a_{n}+n+1$
C. $S_{n}=\frac{2 n}{n+1}$
D. $a_{100}=4950$