多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传＂大衍之数五十＂的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+n+1, n \text { 为奇数 } \\ a_{n}+n, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，则
$\text{A.}$ $a_{4}=6$
$\text{B.}$ $a_{n+2}=a_{n}+2(n+1)$
$\text{C.}$ $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{n^{2}-1}{2}, n \text { 为奇数 } \\ \frac{n^{2}}{2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$
$\text{D.}$ 数列 $\left\{(-1)^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和为
$n(n+1)$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=-1, a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}$ ，则 $\sum_{n=1}^{22} a_{n}=$ $\qquad$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2+3 a_{n}}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ，则 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=5, a_{n+2}=5 a_{n+1}-6 a_{n}$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n+1}-2 a_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）证明：存在两个等比数列 $\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ ，使得 $a_{n}=b_{n}+c_{n}$ 成立．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n+1}=\frac{a_{n}+4 b_{n}}{5}, a_{n+1}=\frac{5 a_{n}+b_{n+1}}{6}$ ，且 $a_{1}=2, b_{1}=1$
（1）求 $a_{2}, b_{2}$ 的值，并证明数列 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}, ~\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}-3 a_{n+1}+2 a_{n}=0$ ．
（1）求证：数列 $\left\{a_{n+1}-a_{n}\right\}$ 是等比数列，并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为非零数列，且满足 $\left(1+\frac{1}{a_{1}}\right)\left(1+\frac{1}{a_{2}}\right) \mathrm{L}\left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n(n+1)}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n}=2 a_{n}-n$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；