填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
随机事件满足 $P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B \mid A)=0.8$ ，则 $P(A \cup B)=$
某人射击时，中靶的概率为 $\frac{3}{4}$ ，如果射击直到中靶为止，则射击次数为 3 的概率为
设 $(X, Y) \sim N(0,1,36,25,0.4)$ ，那么 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$
若 $X \sim B(4, p)$ ，而 $E(X)=3$ ，则 $P(X=3)=$
设 $X \sim N\left(10,8^2\right)$ ，则 $P(0 < X < 20)=$ $\qquad$。（用 $\Phi$ 表示）
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $E(X)=2, E(Y)=3, D(X)=D(Y)=1$ ，则 $E\left((X-Y)^2\right)=$
设总体 $X$ 是 $[a, a+1]$ 上的均匀分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的样本， $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 为样本均值，若 $\bar{X}-k$ 为 $a$ 的无偏估计量，则 $k=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体 $X \sim \chi^2(n)$ 的样本，则 $E\left(S^2\right)=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x}{2}, & 0 < x < 2 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array},\right.
$$
求 $Y=3 X-2$ 的概率密度函数．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的样本，总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
(\theta+1) x^\theta, & 0 < x < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right. \text {, }
$$
其中 $\theta>-1$ 为未知参数，求：（1）参数 $\theta$ 的矩估计量 ${ }^{+}$；（2）参数 $\theta$ 的最大似然估计值
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
A y(1-y), & 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant x \\
0, & \text { 其它 }
\end{array},\right.
$$
（1）求常数 $A$ ；
（2）求 $Y$ 的边缘概率密度 $ f_Y(y)$ ；
（3）求 $E(Y)$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a x+1, & 0 \leqslant x \leqslant 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array},\right.
$$
（1）求常数 $a$ ；
（2）求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ；
（3）求 $P(1 < X < 3)$ ．
盒子里有 3 只黑球， 2 只白球，在其中不放回任取 2 次，每次任取 1 只．定义随机变量
$$
\begin{aligned}
& X=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { 第一次取得黑球 } \\
1, & \text { 第一次取得白球 }
\end{array},\right. \\
& Y=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { 第二次取得黑球 } \\
1, & \text { 第二次取得白球 }
\end{array},\right.
\end{aligned}
$$
求（1）二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律；
（2）$P(X+Y=1)$ ；
（3）判别 $X, Y$ 是否相互独立．
设长方形的高（以米记）$X \sim U(0,2)$ ，已知长方形的周长（以米记）为 20 ，求长方形面积 $A$ 的数学期望和方差．
设甲袋中装有 6 只白球， 4 只红球；乙袋中装有 2 只白球， 3 只红球，今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球．问：
（1）从乙袋取到白球的概率是多少？
（2）若从乙袋中取到白球，则从甲袋中取到的也是白球的概率是多少？
赌场上，赌博的人每次向赌场缴纳 45 元便可以同时投郑三颗骰子一次，并获取一笔奖金，奖金的书目（元）等于三颗骰子掷出的点数的乘积，那么赌场老板平均每次可以获利多少？
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的无偏估计量，且有 $D(\hat{\theta})>0$ ，证明：$\hat{\theta}^2$ 不是 $\theta^2$ 的无偏估计量．