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设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a x+1, & 0 \leqslant x \leqslant 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array},\right.
$$
（1）求常数 $a$ ；
（2）求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ；
（3）求 $P(1 < X < 3)$ ．
                        
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