单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} e ^x, x \leq 0, \\ \ln x, x>0,\end{array} g(x)=f(x)+x+a\right.$ 。若 $g(x)$ 存在 2 个零点，则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[-1,0)$
$\text{B.}$ $[0,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $[1,+\infty)$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^x-1, x \leqslant 1, \\ 1+\log _2 x, x>1,\end{array}\right.$ 则函数 $f(x)$ 的零点为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}, 0$
$\text{B.}$ $-2,0$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 0
函数 $f(x)=\ln x-\frac{2}{x-1}$ 的零点所在的区间是（ ）
$\text{A.}$ $(1,2)$
$\text{B.}$ $(2,3)$
$\text{C.}$ $(3,4)$
$\text{D.}$ $(4,5)$
若函数 $f(x)=3 a x+1-2 a$ 在区间 $(-1,1)$ 内存在一个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{5},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(-1, \frac{1}{5}\right)$
$\text{C.}$ $(-\infty,-1)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-1) \cup\left(\frac{1}{5},+\infty\right)$
设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x-\ln x$ ，则函数 $y=f(x)$
$\text{A.}$ 在区间 $\left(\frac{1}{ e }, 1\right),(1, e )$ 内均有零点
$\text{B.}$ 在区间 $\left(\frac{1}{e}, 1\right),(1, e )$ 内均无零点
$\text{C.}$ 在区间 $\left(\frac{1}{e}, 1\right)$ 内有零点，在区间 $(1, e)$ 内无零点
$\text{D.}$ 在区间 $\left(\frac{1}{e}, 1\right)$ 内无零点，在区间 $(1, e)$ 内有零点
若 $a < b < c$ ，则函数 $f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b) \cdot(x-c)+(x-c)(x-a)$ 的两个零点分别位于区间 $(\quad)$
$\text{A.}$ $(a, b)$ 和 $(b, c)$ 内
$\text{B.}$ $(-\infty, a)$ 和 $(a, b)$ 内
$\text{C.}$ $(b, c)$ 和 $(c,+\infty)$ 内
$\text{D.}$ $(-\infty, a)$ 和 $(c,+\infty)$ 内
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+\frac{1}{2} x, x \leq 0 \\ -|2 x-1|+1, x>0\end{array}\right.$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-(k+1) x f(x)+k x^2=0$ 有且只有三个不同的实数解，则正实数 $k$ 的取值范围为（ ）
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right) \cup(1,2)$
$\text{C.}$ $(0,1) \cup(1,2)$
$\text{D.}$ $(2,+\infty)$
函数 $f(x)=x^3-\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的零点所在区间为（）
$\text{A.}$ $(-1,0)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{D.}$ $(1,2)$
已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f(x)$ 恒有 $f(x-1)=f(x+1)$ ，当 $x \in[0,1)$ 时，$f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$ ，已知 $k \in\left(-\frac{2}{15},-\frac{1}{18}\right)$ ，则函数 $g(x)=f(x)-k x-\frac{1}{3}$ 在 $(-1,6)$ 上的零点个数为
$\text{A.}$ 4 个
$\text{B.}$ 5 个
$\text{C.}$ 3 个或 4 个
$\text{D.}$ 4 个或 5 个
已知定义在 R 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$ ，已知当 $x \in[0,1]$ 时，$f(x)=2^x-a$ ，若 $f(x)=m|x-1|$ 恰有六个不相等的零点，则实数 $m$ 的取值范围为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{4}\right) \cup\left[-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}\right]$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \cup\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right]$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{4}\right) \cup\left\{-\frac{1}{6}\right\}$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \cup\left\{-\frac{1}{6}\right\}$
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
函数 $f(x)= e ^{x-x-2}$ 在下列哪个区间内必有零点 $(\quad)$
$\text{A.}$ $(-2,-1)$
$\text{B.}$ $(-1,0)$
$\text{C.}$ $(0,1)$
$\text{D.}$ $(1,2)$
已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x-x^2, 0 < x \leq 2 \\ \frac{m(x-2)}{x}, x>2\end{array}\right.$ ，那么函数 $g(x)=f(x)-2$ 在定义域内的零点个数可能是（ ）
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=2 \ln x-1, g(x)=a|x-m|$ ，若存在实数 $a>0$ 使 $y=f(x)-g(x)$ 在 $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ 上有 2 个零点，则 $m$ 的取值范围为
函数 $f(x)=\sin \pi x-\ln |2 x-3|$ 的所有零点之和为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（1）定义在 $R$ 上的偶函数 $y=f(x)$ ，当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)=\lg \left(x^2-3 x+3\right)$ ，求 $f(x)$ 在 $R$ 上的零点个数；
（2）试探讨函数 $f(x)= e ^x+\frac{1}{2} x-2$ 的零点个数．
（1）设函数 $f(x)$ 是偶函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{lc}x(3-x), & 0 \leqslant x \leqslant 3, \\ -\frac{3}{x}+1, & x>3 .\end{array}\right.$ 若函数 $y=f(x)-m$ 有 4个不同的零点，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|\ln x|+3, \quad x>0, \\ -x^2-2 x-2, \quad x \leqslant 0 .\end{array}\right.$ 若关于 $x$ 的方程 $[f(x)]^2+b f(x)+4 b+1=0$ 有 4 个不同的实数根，求实数 $b$ 的取值范围．