已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+\frac{1}{2} x, x \leq 0 \\ -|2 x-1|+1, x>0\end{array}\right.$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-(k+1) x f(x)+k x^2=0$ 有且只有三个不同的实数解，则正实数 $k$ 的取值范围为（ ）
A. $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
B. $\left[\frac{1}{2}, 1\right) \cup(1,2)$
C. $(0,1) \cup(1,2)$
D. $(2,+\infty)$