如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C=9$ ，点 $E$ 在边 $A C$ 上，$A E$ 的中垂线交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $\angle A D E=\angle B, C D=3 B D$ ，则 $C E$ 等于

如图，在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中，$\angle A C B=\angle E D F=90^{\circ}, B C=A C, E D=F D$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上．
（1）如图 1，若点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上，连接 $A E$ ，探究线段 $A F, ~ A E, ~ A D$ 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图 2，若点 $D$ 与点 $A$ 重合，且 $A C=3 \sqrt{2}, D E=4$ ，将 $\triangle D E F$ 绕点 $D$ 旋转，连接 $B F$ ，点 $G$ 为 $B F$ 的中点，连接 $C G$ ，在旋转的过程中，求 $\frac{3}{2} C G+B G$ 的最小值；
（3）如图 3，若点 $D$ 为 $A B$ 的中点，连接 $B F, ~ C E$ 交于点 $M, C E$ 交 $A B$ 于点 $N$ ，且 $B C: D E: M E=7: 9: 10$ ，请直接写出 $\frac{N D}{C N}$ 的值．

综合实践 问题情境 在图1所示的直角三角形纸片 $A B C$ 中，$O$ 是斜边 $A B$ 的中点．数学老师让同学们将 $\triangle A B C$绕中点 $O$ 做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．

解决问题
（1）＂实践小组＂的同学们将 $\triangle A B C$ 以点 $O$ 为中心按逆时针旋转，当点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 与 $C$ 重合时，$B C$ 与它的对应边 $B^{\prime} C^{\prime}$ 交于点 $D$ ．他们发现：$O D \perp B^{\prime} C$ ．请你帮助他们写出证明过程．
数学思考
（2）在图2的基础上，＂实践小组＂的同学们继续将 $\triangle A B C$ 以点 $O$ 为中心进行逆时针旋转，当 $A B$ 的对应边 $A^{\prime} B^{\prime} \perp A B$ 时，设 $A^{\prime} B^{\prime}$ 与 $B C$ 交于点 $F, B^{\prime} C^{\prime}$ 与 $A B$ 交于点 $E$ ．他们认为 $E D+F D=A C$ ．他们的认识是否正确？请说明理由．

再探发现
（3）解决完上面两个问题后，＂实践小组＂的同学们在图3中连接 $O D$ ，他们认为 $D F, D E$ 与 $O D$ 也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系 $\qquad$ ．（不要求证明）

感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图 1，点 $A$ 在直线 $D E$ 上，且 $\angle B D A=\angle B A C=\angle A E C=90^{\circ}$ ，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为＂一线三等角＂模型。

应用：
（1）如图 2，Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, C B=C A$ ，直线 $E D$ 经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D \perp E D$ 于点 $D$ ，过 $B$ 作 $B E \perp E D$于点 $E$ ．求证：$\triangle B E C \cong \triangle C D A$ ．
（2）如图 3，在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 上一点，$\angle C A D=90^{\circ}, A C=A D$ ， $\angle D B A=\angle D A B, A B=2 \sqrt{3}$ ，求点 $C$ 到 $A B$ 边的距离．
（3）如图 4，在 $\square A B C D$ 中，$E$ 为边 $B C$ 上的一点，$F$ 为边 $A B$ 上的一点．若 $\angle D E F=\angle B, A B=10, B E=6$ ，求 $\frac{E F}{D E}$ 的值．

如图 1，$\angle A C B=90, A C=B C, A D \perp C E, B E \perp C E$ ，垂足分别为 $D, E$ ．
（1）若 $A D=2.5_{ cm }, D E=1.7 cm$ ，求 $B E$ 的长．
（2）在其它条件不变的前提下，将 $C E$ 所在直线变换到 $\triangle A B C$ 的外部（如图 2），请你猜想 $A D, D E, B E$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图 3，将（1）中的条件改为：在 $\triangle A B C$ 中，$A C=B C, D, C, E$ 三点在同一条直线上，并且有 $\angle B E C=$ $\angle A D C=\angle B C A=\alpha$ ，其中 $\alpha$ 为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C$ ，直线 $M N$ 经过点 $C$ ，且 $A D \perp M N$ 于 $D, B E \perp M N$ 于 $E$ ．
（1）当直线 $M N$ 绕点 $C$ 旋转到图 1 的位置时，求证：
① $\triangle A C D \cong \triangle C E B$ ；
② $D E=A D+B E$ ．
（2）当直线 $M N$ 绕点 $C$ 旋转到图 2 的位置时，求证：$D E=A D-B E$ ；
（3）当直线 $M N$ 绕点 $C$ 旋转到图 3 的位置时，试问 $D E, ~ A D, ~ B E$ 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

已知，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, D, A, E$ 三点都在直线 $m$ 上，且 $D E=9 cm, \angle B D A=\angle A E C=\angle B A C$ ．
（1）如图 ① ，若 $A B \perp A C$ ，则 $B D$ 与 $A E$ 的数量关系为 $\qquad$ ，$C E$ 与 $A D$ 的数量关系为 $\qquad$ ；
（2）如图 ② ，判断并说明线段 $B D, C E 与 D E$ 的数量关系；
（3）如图 ③ ，若只保持 $\angle B D A=\angle A E C, B D=E F=7 cm$ ，点 $A$ 在线段 $D E$ 上以 $2 cm / s$ 的速度由点 $D$ 向点 $E$ 运动，同时，点 $C$ 在线段 $E F$ 上以 $x cm / s$ 的速度由点 $E$ 向点 $F$ 运动，它们运动的时间为 $t$（ $s$ ）．是否存在 $x$ ，使得 $\triangle A B D$ 与 $\triangle E A C$ 全等？若存在，求出相应的 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

【问题解决】
（1）已知 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, D, A, E$ 三点都在直线 $l$ 上，且有 $\angle B D A=\angle A E C=\angle B A C$ ．如图 ① ，当 $\angle B A C=90^{\circ}$时，线段 $D E, B D, C E$ 的数量关系为： $\qquad$ ；

【类比探究】
（2）如图 ② ，在（1）的条件下，当 $0^{\circ} < \angle B A C < 180^{\circ}$ 时，线段 $D E, B D, C E$ 的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图 ③ ，$A C=B C, \angle A C B=90^{\circ}$ ，点 $C$ 的坐标为 $(-2,0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1,2)$ ，请求出点 $A$ 的坐标．