填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\cos (\ln x)$, 求 $y^{\prime \prime}$;
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$;
求函数 $f(x)=\frac{\ln ^2 x}{x}$ 的单调区间和极值;
求曲线 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 的拐点;
求不定积分 $\int e ^x \cos \left(2 e ^x\right) d x$;
计算反常积分 $\int_0^{+\infty} e ^{-x} \sin x d x$ ；
问矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)$ 是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵;
问当 $a, b$ 取何值时, 齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y+z=0, \\ x+b y+z=0, \\ x+2 b y+z=0\end{array}\right.$ 只有零解?
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x \in[0,1), \\ 2 x, & x \in[1,2] .\end{array}\right.$ 求 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式,并讨论 $F(x)$ 在 $x=1$ 点的可导性。
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知抛物线 $L: y=-x^2+4 x-3$ 。
(1) 求 $L$ 分别在点 $(0,-3)$ 和 $(3,0)$ 处的切线的方程;
(2) 求 (1) 中的两条切线与 $L$ 所围图形的面积。
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 且满足方程
$$
\int_0^x(x-t) f(t) d t=e^x\left(x^2-2 x\right)
$$
（1）求 $f(x)$ 的表达式;（2）求 $f(x)$ 的极值。
已知 $\xi =\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 是矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的特征向量。
(1) 求常数 $a, b$ 及 $\xi$ 所对应的特征值;
(2) 问 $A$ 是否能对角化? 请说明理由。
(1) 求 $\int_0^\pi \frac{1}{1+\cos ^2 x} d x$ 和 $\int_0^\pi \frac{\sin ^2 x}{1+\cos ^2 x} d x$;
(2) 证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x \frac{\sin ^2 t}{1+\cos ^2 t} d t}{\int_0^x \frac{1}{1+\cos ^2 t} d t}=2-\sqrt{2}$ 。