复旦大学《高等数学A上》2014期末考试试卷

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复旦大学《高等数学A上》2014期末考试试卷

一、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设

y = \cos (\ln x)

, 求

y^{''}

;

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2. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^{3}}

;

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3. 求函数

f (x) = \frac{\ln^{2} x}{x}

的单调区间和极值;

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4. 求曲线

y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})

的拐点;

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5. 求不定积分

\int e^{x} \cos (2 e^{x}) d x

;

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6. 计算反常积分

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} \sin x d x

；

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7. 问矩阵

A = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{array})

是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵;

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8. 问当

a, b

取何值时, 齐次线性方程组

{\begin{cases} a x + y + z = 0, \\ x + b y + z = 0, \\ x + 2 b y + z = 0 \end{cases}

只有零解?

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9. 设

f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \in [0, 1), \\ 2 x, & x \in [1, 2] . \end{cases}

求

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

在

[0, 2]

上的表达式,并讨论

F (x)

在

x = 1

点的可导性。

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 已知抛物线

L : y = - x^{2} + 4 x - 3

。
(1) 求

L

分别在点

(0, - 3)

和

(3, 0)

处的切线的方程;
(2) 求 (1) 中的两条切线与

L

所围图形的面积。

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11. 讨论方程

x \ln x = a

有几个实根。

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12. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续, 且满足方程

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = e^{x} (x^{2} - 2 x)

（1）求

f (x)

的表达式;（2）求

f (x)

的极值。

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13. 已知

ξ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

是矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ - 1 & b & - 2 \end{array})

的特征向量。
(1) 求常数

a, b

及

ξ

所对应的特征值;
(2) 问

A

是否能对角化? 请说明理由。

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14. (1) 求

\int_{0}^{π} \frac{1}{1 + \cos^{2} x} d x

和

\int_{0}^{π} \frac{\sin^{2} x}{1 + \cos^{2} x} d x

;
(2) 证明

lim_{x \to + \infty} \frac{\int_{0}^{x} \frac{\sin^{2} t}{1 + \cos^{2} t} d t}{\int_{0}^{x} \frac{1}{1 + \cos^{2} t} d t} = 2 - \sqrt{2}

。

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