江西师范大学《高等数学下》期末联考试卷答案解析

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江西师范大学《高等数学下》期末联考试卷答案解析

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

是连续函数,

F (x) = \int_{- x^{2}}^{0} f (t) a t

, 则

F^{'} (x) =

A.

f (- x^{2})

B.

- f (- x^{2})

C.

2 x f (- x^{2})

D.

- 2 x f (- x^{2})

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2. 由曲线

y = e^{x}

与直线

x = 1 、 y = 1

所围成的图形的面积为

A.

\int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x

B.

\int_{0}^{1} (1 - e^{x}) d x

C.

\int_{0}^{1} e^{x} d x

D.

\int_{0}^{1} (e^{x} + 1) d x

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3. 在空间直角坐标系下, 下列曲面方程中为平面方程的是

A.

y - 2 x^{2} = 0

B.

x^{2} + y^{2} - z + 1 = 0

C.

2 x + y + 6 z + 5 = 0

D.

\sin x - x y = 0

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4. 设函数

z = f (x, y) = {\begin{array}{cc} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}, & x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2} + y^{2} = 0 \end{array}

, 则

z = f (x, y)

在点

P (0, 0)

A.

连续

B.

不连续

C.

不能确定连续性

D.

不存在

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5. 设

z = x^{y}

, 则有

A.

\frac{\partial z}{\partial x} = x^{y} \ln x

B.

\frac{\partial z}{\partial x} = y x^{j - 1} d x

C.

\frac{\partial z}{\partial x} = x^{y}

D.

\frac{\partial z}{\partial x} = y x^{j - 1}

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6. 设二元函数

z = f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

的某领域内存在连续的二阶偏导数

f_{x}^{'} 、 f_{x y}^{''} 、 f_{y y}^{''}

,且点

(x_{0}, y_{0})

是驻点, 当

f_{x y}^{' 2} (x_{0}, y_{0}) < f_{y y}^{''} (x_{0}, y_{0}) f_{x x}^{''} (x_{0}, y_{0})

, 且

f_{y y}^{'} (x_{0}, y_{0}) < 0

时,下列结论正确的是

A.

f (x_{0}, y_{0})

不是极值

B.

f (x_{0}, y_{0})

是极小值

C.

f (x_{0}, y_{0})

是极大值

D.

不能判断

f (x_{0}, y_{0})

是否为极值

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7. 设区域 D 是圆

x^{2} + y^{2} \leq 4

的第二、三象限部分, 二重积分

\iint_{D} x y d σ =

A.

2 \int_{- 2}^{0} d x \int_{0}^{\sqrt{4 x^{2}}} x y d y

B.

\int_{- 2}^{0} d x \int_{- \sqrt{4 - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} x y d y

C.

\int_{0}^{2} d x \int_{- \sqrt{4 - x^{2}}}^{\sqrt{4 - z^{2}}} x y d y

D.

2 \int_{0}^{2} d x \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} x y d y

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8. 若级数

\sum_{n = 1}^{N} 3 u_{n}

收敛, 则下述结论中不正确的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛

C.

lim_{n \to \infty} u_{n} = 0

D.

\sum_{n = 1}^{\equiv} | u_{n} |

敛散不确定

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9. 若函数

y = x e^{x}

是方程

F (x, y, y^{'}) = 0

解, 则

y = x e^{x} + C

(C为任意常数)

A.

是

F (x, y, y) = 0

的通解

B.

是

F (x, y, y^{'}) = 0

的特解

C.

不是

F (x, y, y) = 0

的通解

D.

不能确定是否为

F (x, y, y^{'}) = 0

的解

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10. 设

k

为任意常数, 微分方程

y^{'} = 2 x \tan y

的通解是

A.

- \ln \sin y = x^{2} + k

B.

\sin y = k e^{z^{2}} (k \neq 0)

C.

\ln \sin y = k x^{2}

D.

\ln k \sin y = x^{2} (k > 0)

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11. 关于级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} n^{p}

收敛性, 下述结论中正确的是

A.

0 < p < 1

时收敛

B.

p > 1

时收敛

C.

- 1 < p < 0

时绝对收敛

D.

p < - 1

时收敛

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12. 若函数

z = f (u)

二阶可导, 且

u = 3 e^{y} + 2 x

, 则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

A.

6 x f^{″}

B.

6 e^{y} f^{^{″}}

C.

3 e^{y} f^{^{″}}

D.

2 f^{″}

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二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 计算

lim_{x \to \infty} \frac{\int_{1}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t}{x^{2}}

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14. 定积分

\int_{- π}^{π} \cos x \sin x d x =

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15. 广义积分

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{3}} d x =

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16. 二元函数

z = \arctan (x - y) + \sqrt{x^{2} y}

的定义域是

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17. 设函数

z = f (x + y, x y) = x^{2} + y^{2} + 3 x y + 5

, 则

z = f (x, y) =

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18. 设函数

z = \arcsin (x y)

, 则

d z =

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19. 设二重积分的积分区域 D 是由

4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9

围成, 则

\iint_{D} d x d y =

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20. 交换积分次序后,

I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x \int_{1 - x}^{1} f (x, y) d y =

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21. 微分方程

y^{''} + 5 y^{'} + 6 y = 0

的通解为函数

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22. 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{5})}^{n}

的和

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23. 幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(n + 1) 3^{n}} x^{n}

的收敛半径为

R =

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

24. 定积分

\int_{1 / 3 π}^{1 / 2 π} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} d x

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25. 计算二重积分

\iint_{D} x e^{y} d σ

, 其中

D

是由

y = \ln (x + 1) 、 x

轴,

x = 2

所围成的区域.

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26. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}} (2 x)^{n}

的收敛区域.

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27. 求微分方程

y^{'} + y = e^{x}

的通解.

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28. 设函数

z = z (x, y)

由方程

x y = e^{z} - z

所确定, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}

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29. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{1 + e^{x}} & x < 0 \\ \frac{1}{1 + x} & x \geq 0 \end{cases}

, 求

\int_{- 1}^{1} f (x) d x

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30. 设 S 是由曲线

y = x^{2}

与

y = 4 x - x^{2}

围成的一平面图形, 求:
(1) 平面图形

S

的面积;
(2) 平面图形 S 绕

x

轴旋转所得旋转体的体积 V.

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31. 某厂准备生产甲、乙两种产品, 已知甲、乙的产量分别为

x, y

件时, 总成本为

C (x, y) = 100 + 2 x + 3 y + 0.01 (x^{2} + x y + y^{2})

（元）, 且每件售价分别为 8 元和 9 元.问两种产品各生产多少件时, 该厂可获得最大利润?

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四、证明题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

32. 若函数

f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d x

, 求证:

f (x) = 0

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33. 证明无穷级数

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{2}}

收敛.

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