单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设随机事件 $A 、 B$ 的概率均大于零, 且 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$, 则
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 互不相容
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 互相对立
$\text{C.}$ $A$ 与 $B$ 互不独立
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 相互独立
设 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立且 $E\left(X_i\right)=1, D\left(X_i\right)=1 \quad(i=1,2,3)$, 则对于任意给定的 $\varepsilon>0$ 由切比雪夫不等式可得
$\text{A.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{B.}$ $P\left(\left|\frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{C.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{D.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-3 \varepsilon^{-2}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的一个简单随机样本, $\bar{X}, S^2$ 分别为样本均值与样本方差, 则
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \sim \chi^2(n-1)$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2 \sim \chi^2(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n-1}} \sim t(n-1)$
设 $\theta$ 是总体 $X$ 的参数, $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 为 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的随机区间, 则
$\text{A.}$ $\theta$ 以 $1-\alpha$ 的概率落入 $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$
$\text{B.}$ $\theta$ 以 $\alpha$ 的概率落在 $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 之外
$\text{C.}$ $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 以概率 $1-\alpha$ 包含 $\theta$
$\text{D.}$ $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 以概率 $\alpha$ 包含 $\theta$
总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体的一个样本, 对 $\mu$ 进行假设检验: $H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$, 则
$\text{A.}$ 若在显著水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$, 则在显著水平 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$
$\text{B.}$ 若在显著水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$, 则在显著水平 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$
$\text{C.}$ 若在显著水平 $\alpha=0.01$ 下接受 $H_0$, 则在显著水平下 $\alpha=0.05$ 必接受 $H_0$
$\text{D.}$ 若在显著水平 $\alpha=0.01$ 下接受 $H_0$, 则在显著水平下 $\alpha=0.05$ 必拒绝 $H_0$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $P(A)=0.8, P(A \bar{B})=0.2$, 则 $P(\bar{A} \cup \bar{B})=$
某小型停车场有 7 个车位排成一排, 此时全空着, 若有 2 辆车进来随机选位,则 2 辆车相隔 2 个车位的概率为
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y=X^2$, 则 $y>0$ 时 $Y$ 的密度函数
设随机变量 $X 、 Y 、 Z$ 依次服从二项分布、正分布态和泊松分布, 且 $X \sim B(100,0.1), Y \sim N(1,4), Z \sim P(2)$,则 $E(X-2 Y+3 Z-4)=$
知某门课程考生分数 $X$ 服从正态分布 $N\left(75,10^2\right)$, 若把考生分数在后 $10 \%$ 的评为 $C$ 级, 则 $C$ 级的分数线为 ________ 分. (结果四舍五入, 已知 $\Phi(1.285)=0.9$, 其中 $\Phi(x)$ 为正态分布函数)
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某地区为贯彻 "绿水青山就是金山银山"的精神, 鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察苹果、梨子和桃子三种树苗, 经引种试验后发现, 三种果树苗成活率都为 0.8 .
(1)任取三种树苗各一棵，求成活的树苗数 $X$ 的分布列;
(2) 若每棵树苗引种最终成活后可获利 500 元, 不成活的每棵亏损 50 元,该农户为了获利不低于 10 万元, 至少需要种树苗多少棵?
设随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律
(1) 求 $(X, Y)$ 的边缘分布律并判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立;
(2) 求 $Z=\operatorname{Max}(X, Y)$ 的分布律;
(3) 求 $E\left(\frac{X}{Y}\right)$.
设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x+1, & 0 \leq x \leq 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{array}\right.$.
求: (1) 常数 $a$;
(2) $X$ 的分布函数 $F(x)$;
(3) $P(1 < X < 3)$;
(4) $E\left(X^2\right)$.
[分析] 考察连续型随机变量的分布函数、及其函数的概率.
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 概率密度分别为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}1,0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}, f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-y}, & y>0 \\ 0, & y \leq 0\end{array}\right.\right.$.
求:（1） $(X, Y)$ 的联合概率密度;
(2) $P(X+Y \leq 1)$;
(3) $Z=X+Y$ 的概率密度.
某班教师发现在考试及格的学生中有 $90 \%$ 的学生按时交作业, 而在考试不及格的学生中只有 $10 \%$ 的学生按时交作业, 现在知道有 $90 \%$ 的学生考试及格, 从这个班学生中随机抽取一位学生.
求:（1）抽的这位学生是按时交作业的概率;
(2) 若已知抽到的这位学生是按时交作业的, 他考试及格的概率.
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{l}\theta e^{-\theta x}, x>0 \\ 0, \\ x \leq 0\end{array}\right.$, 其中 $\theta>0$ 为未知参数,又设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 容量为 $n$ 的样本.
求: (1) $\theta$ 的矩估计量;
（2） $\theta$ 的极大似然估计量.
设某机器生产的零件长度 (单位: cm ) $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 今抽取容量为 16 的样本, 测得样本平均值 $\bar{x}=10$,样本方差 $s^2=0.16$.
(1) 求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间;
(2) 检验假设: $H_0: \sigma^2 \leq 0.1, H_1: \sigma^2>0.1$ (显著性水平为 $\alpha=0.05$ ).
