考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题

导出试卷

考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题

一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

A

是 3 阶矩阵,

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是 3 维列向量, 其中

α_{3} \neq 0

, 若

A α_{1} = α_{2}, A α_{2} = α_{3}, A α_{3} = 0

.
（I）证明：

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关；
（II）求矩阵

A

的特征值和特征向量;
（III）若

α_{1} = (0, 1, 0)^{T}, α_{2} = (1, 0, 0)^{T}, α_{3} = (0, 0, 1)^{T}

，求

A, A^{3}

和

(A + E)^{3}

。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 若二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3}

经可逆线性变换

x = P y

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} + 5 y_{2}^{2} + 8 y_{3}^{2} + 4 y_{1} y_{2} - 4 y_{1} y_{3} - 4 y_{2} y_{3}

, 求

a

与矩阵

P

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设

A

是各行元素之和均为 0 的 3 阶矩阵,

α, β

是线性无关的三维列向量, 并满足

A α = 3 β, A β = 3 α

( I ) 证明矩阵

A

和对角矩阵相似;
(II) 如

α = (0, - 1, 1)^{T}, β = (1, 0, - 1)^{T}

, 求矩阵

A

;
(III) 由 (II) 用配方法化二次型

x^{T} A x

为标准形,并写出所用坐标变换.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 若对矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \end{array})

施以初等列变换得矩阵

B = (\begin{array}{ccc} - 1 & - 2 & - 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & - 2 & 0 \end{array})

, 求满足

A P = B

的所有可逆矩阵

P

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 设 3 阶实对称矩阵

A

的秩为

2, λ_{1} = λ_{2} = 6

是

A

的二重特征值。若

α_{1} = (1, a, 0)^{T}, α_{2} = (2

1, 1)^{T}, α_{3} = (0, 1, - 1)^{T}

都是矩阵

A

属于特征值 6 的特征向量.
(I) 求

a

的值;
(II) 求

A

的另一特征值和对应的特征向量;
(III) 若

β = (- 2, 2, - 1)^{T}

, 求

A^{n} β

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 若二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{3}

经正交变换

x = Q y

化为二次型

g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) =

y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + a y_{3}^{2} + 2 y_{1} y_{2}

, 求

a

与矩阵

Q

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。

考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题

热点推荐

试卷二维码

试卷白板

相关试卷