单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中, 在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin |x|$.
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$.
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$.
$\text{D.}$ $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续, 则下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ 时, $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$ 时, $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$.
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=0$.
设 $f(x)$ 为不恒等于零的奇函数, 且 $f^{\prime}(0)$ 存在, 则函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$
$\text{A.}$ 在 $x=0$ 处左极限不存在.
$\text{B.}$ 有跳跃间断点 $x=0$.
$\text{C.}$ 在 $x=0$ 处右极限不存在.
$\text{D.}$ 有可去间断点 $x=0$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ x^2 g(x), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在。
$\text{B.}$ 极限存在, 但不连续.
$\text{C.}$ 连续, 但不可导.
$\text{D.}$ 可导。
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 等于
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a)$.
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$.
$\text{C.}$ 0 .
$\text{D.}$ $f^{\prime}(2 a)$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^\alpha \cos \frac{1}{x^\beta}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}(\alpha>0, \beta>0)\right.$. 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续,则
$\text{A.}$ $\alpha-\beta>1$.
$\text{B.}$ $0 < \alpha-\beta \leqslant 1$.
$\text{C.}$ $\alpha-\beta>2$.
$\text{D.}$ $0 < \alpha-\beta \leqslant 2$.
设 $f(x)=3 x^3+x^2|x|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3.
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, 周期为 4. 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5, f(5))$ 处的切线的斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ 0 .
$\text{C.}$ $-1$.
$\text{D.}$ $-2$.
设 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{1}{2}$, 则 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分 $d y$ 是
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小.
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小.
$\text{C.}$ 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小.
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x|x|, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可导点, 极值点.
$\text{B.}$ 不可导点, 极值点.
$\text{C.}$ 可导点, 非极值点.
$\text{D.}$ 不可导点, 非极值点.
设 $f(x)=x \sin x+\cos x$, 下列命题中正确的是
$\text{A.}$ $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值.
$\text{B.}$ $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值.
$\text{C.}$ $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极大值.
$\text{D.}$ $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极小值.
设两函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 $x=a$ 处取得极大值, 则函数 $F(x)=f(x) g(x)$ 在 $x=a$ 处
$\text{A.}$ 必取极大值.
$\text{B.}$ 必取极小值.
$\text{C.}$ 不可能取极值.
$\text{D.}$ 是否取极值不能确定.
曲线 $y=(x-1)^2(x-3)^2$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)>0$, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{C.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 极小值.
$\text{D.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+ e ^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
当 $x>0$ 时, 曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}$
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线.
$\text{B.}$ 有且仅有铅直渐近线.
$\text{C.}$ 既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.
$\text{D.}$ 既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.
.函数 $f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
若 $3 a^2-5 b < 0$, 则方程 $x^5+2 a x^3+3 b x+4 c=0$
$\text{A.}$ 无实根.
$\text{B.}$ 有唯一实根.
$\text{C.}$ 有三个不同实根.
$\text{D.}$ 有五个不同实根.
设某商品的需求函数为 $Q=160-2 p$, 其中 $Q, p$ 分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于 1 , 则商品的价格是
$\text{A.}$ 10 .
$\text{B.}$ 20 .
$\text{C.}$ 30 .
$\text{D.}$ 40 .