高等数学同步训练提高版(无穷级数)

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高等数学同步训练提高版(无穷级数)

一、单选题（共 13 题），每题只有一个选项正确

1. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n} = 2, \sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1} = 5

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

等于

A.

3 .

B.

7 .

C.

8 .

D.

9 .

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2. 设

u_{n} = (- 1)^{n} \ln (1 + \frac{1}{\sqrt{n}})

, 则级数

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

都收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

都发散.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛而

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

发散.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散而

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

收敛.

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3. 设常数

λ > 0

, 且级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

收敛, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{| a_{n} |}{\sqrt{n^{2} + λ}}

A.

发散

B.

条件收敛

C.

绝对收敛

D.

敛散性与

λ

有关

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4. 若

\sum_{n = 1}^{\infty} n u_{n}

绝对收敛,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{v_{n}}{n}

条件收敛, 则

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} v_{n}

条件收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} v_{n}

绝对收敛.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

收敛.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

发散.

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5. 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (1 - \cos \frac{α}{n}) (

常数

α > 0)

A.

发散.

B.

条件收敛.

C.

绝对收敛.

D.

敛散性与

α

有关.

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6. 设常数

k > 0

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{k + n}{n^{2}}

A.

发散.

B.

绝对收敛.

C.

条件收敛.

D.

敛散性与

k

值有关.

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\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{2 n + 3}{(2 n + 1)!} =

A.

\sin 1 + \cos 1

B.

2 \sin 1 + \cos 1

C.

2 \sin 1 + 2 \cos 1

D.

2 \sin 1 + 3 \cos 1

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8. 设

f (x) = | x - \frac{1}{2} |, b_{n} = 2 \int_{0}^{1} f (x) \sin n π x d x (n = 1, 2, \dots)

, 令

S (x) =

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin n π x

, 则

S (- \frac{9}{4}) =

A.

\frac{3}{4}

B.

\frac{1}{4}

C.

- \frac{1}{4}

D.

- \frac{3}{4}

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9. 设函数

f (x) = x^{2}, 0 ⩽ x ⩽ 1, S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin n π x, - \infty < x < + \infty

, 其中

b_{n} = 2 \int_{0}^{1} f (x) \sin n π x d x, n = 1, 2, 3 \dots

, 则

S (- \frac{1}{2}) =

A.

- \frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{4}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{2}

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10. 设

R

为幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

的收敛半径,

r

是实数, 则

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}

发散时,

| r | ⩾ R

。

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}

发散时,

| r | ⩽ R

。

C.

| r | ⩾ R

时,

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}

发散.

D.

| r | ⩽ R

时,

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}

发散.

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11. 设

0 ⩽ a_{n} < \frac{1}{n} (n = 1, 2, \dots)

, 则下列级数中肯定收敛的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{a_{n}}

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}^{2}

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12. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^{α}}

绝对收敛, 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2 - a}}

条件收敛, 则

A.

0 < α ⩽ \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{2} < α ⩽ 1

C.

1 < α ⩽ \frac{3}{2}

D.

\frac{3}{2} < α < 2

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13. 设有下列命题:
(1)若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛。
(2)若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛,则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n + 1000}

收敛.
(3) 若

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} > 1

，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散。
(4)若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都收敛.则以下命题中正确的是

A.

(1) (2)

B.

(2) (3)

C.

(3) (4)

D.

(1) (4)

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