单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 等于
$\text{A.}$ 3 .
$\text{B.}$ 7 .
$\text{C.}$ 8 .
$\text{D.}$ 9 .
设 $u_n=(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$, 则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都发散.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 发散.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛.
设常数 $\lambda>0$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\left|a_n\right|}{\sqrt{n^2+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散性与 $\lambda$ 有关
若 $\sum_{n=1}^{\infty} n u_n$ 绝对收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{n}$ 条件收敛, 则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 条件收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散.
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)($ 常数 $\alpha>0)$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 绝对收敛.
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 有关.
设常数 $k>0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{k+n}{n^2}$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 敛散性与 $k$ 值有关.
$$
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=
$$
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$.
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$.
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$.
$\text{D.}$ $2 \sin 1+3 \cos 1$.
设 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|, b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x d x(n=1,2, \cdots)$, 令 $S(x)=$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$, 则 $S\left(-\frac{9}{4}\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$.
设函数 $f(x)=x^2, 0 \leqslant x \leqslant 1, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty$, 其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x d x, n=1,2,3 \cdots$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径, $r$ 是实数, 则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时, $|r| \geqslant R$ 。
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时, $|r| \leqslant R$ 。
$\text{C.}$ $|r| \geqslant R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散.
$\text{D.}$ $|r| \leqslant R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散.
设 $0 \leqslant a_n < \frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$, 则下列级数中肯定收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}$.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n^2$.
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^\alpha}$ 绝对收敛, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{2-a}}$ 条件收敛, 则
$\text{A.}$ $0 < \alpha \leqslant \frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} < \alpha \leqslant 1$.
$\text{C.}$ $1 < \alpha \leqslant \frac{3}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} < \alpha < 2$.
设有下列命题:
(1)若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
(2)若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$ 收敛.
(3) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
(4)若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛.则以下命题中正确的是
$\text{A.}$ (1) (2)
$\text{B.}$ (2) (3)
$\text{C.}$ (3) (4)
$\text{D.}$ (1) (4)