单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=\sqrt{3},|\vec{a}-2 \vec{b}|=3$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=(\quad)$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知非零向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 和实数 $k$, 那么 " $\vec{a}=k \vec{b} "$ 是 " $|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| $" 的（）
$\text{A.}$ 充分而不必要条件
$\text{B.}$ 既不充分也不必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 必要而不充分条件
已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量, 且 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=60^{\circ}$, 若 $\vec{c}=2 \vec{a}-\vec{b}$, 则 $\cos \langle\vec{a}, \vec{c}\rangle=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
在边长为 3 的正方形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 满足 $\overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{E B}$, 则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{D E}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ -3
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{b}=(\sqrt{3}, 1),\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{\pi}{3}$, 若 $(\vec{a}-\vec{b}) \perp \vec{a}$, 则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{4} \vec{b}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \vec{b}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$
$\text{D.}$ $\vec{b}$
已知 $\triangle A B C$ 是边长为 1 的等边三角形, 点 $D, E$ 分别是边 $A B, B C$ 的中点, 连结 $D E$ 并延长到点 $F$, 使得 $D E=2 E F$,则 $A F \cdot B C$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -8
勒洛三角形是一种典型的定宽曲线, 以等边三角形每个顶点为圆心, 以边长为半径, 在另两个顶点间作一段圆弧, 三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形. 在如图所示的勒洛三角形中, 已知 $A B=2, P$ 为弧 $A C$上的点且 $\angle P B C=45^{\circ}$, 则 $\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{C P}$ 的值为
$\text{A.}$ $4-\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $4+\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $4-2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $4+2 \sqrt{2}$
在三角形 $A B C$ 中, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=0,|\overrightarrow{B C}|=6, \overrightarrow{A O}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}), \overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{5}{6} \overrightarrow{B C}$, 则 $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{B C}=$
$\text{A.}$ -12
$\text{B.}$ -6
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 18
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知向量 $\vec{a}=(-1,3), \vec{b}=(x, 2)$, 且 $(\vec{a}-2 \vec{b}) \perp \vec{a}$, 则下列选项正确的是（）
$\text{A.}$ $\vec{b}=(1,2)$
$\text{B.}$ $|3 \vec{a}-\vec{b}|=25$
$\text{C.}$ 向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角是 $45^{\circ}$
$\text{D.}$ 向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量坐标是 $(-1,3)$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ},|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1$, 则与向量 $\vec{a}-\vec{b}$ 的夹角为锐角的向量有
$\text{A.}$ $\vec{b}$
$\text{B.}$ $\vec{a}+\vec{b}$
$\text{C.}$ $\vec{a}-2 \vec{b}$
$\text{D.}$ $\vec{b}-2 \vec{a}$
已知非零单位向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$, 若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, 向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\vec{c}$, 向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{d}$,则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ $|\vec{c}|=|\vec{d}|$
$\text{B.}$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{c}$
$\text{C.}$ $\vec{c}=\frac{\sqrt{3}}{3} \vec{b}$
$\text{D.}$ $\vec{c} \cdot \vec{d}=-\frac{\sqrt{3}}{9}$
已知对任意平面向量 $\overrightarrow{A B}=(x, y)$, 把 $\overrightarrow{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到向量 $A P=\left(x {\cos } \theta-\right.$ $\left.y {\sin } \theta, x {\sin } \theta+y {\cos } \theta\right)$, 叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到点 $P$. 已知平面内点 $A(2,1)$, 点 $B(2+t, 1-t),|\overrightarrow{A B}|=2 \sqrt{2}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{O A}>0$, 点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{3}$ 角得到点 $P$, 则 ( ）
$\text{A.}$ $|\overrightarrow{B P}|=2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A B}=(-2,2)$
$\text{C.}$ $B$ 的坐标为 $(4,-1)$
$\text{D.}$ $P$ 的坐标为 $(3+\sqrt{3}, \sqrt{3})$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $\vec{a}=(2,-3), \vec{b}=(-1,2)$, 则 $(a +b) {a}=$
$O$ 是锐角三角形 $A B C$ 内的一点, $A, B, C$ 是 $\triangle A B C$ 的三个内角, 且点 $O$ 满足 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O C}$,则 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的 $\qquad$ 心。
如图, 一个半径为 3 的半圆, $C 、 D$ 两点为直径 $A B$ 的三等分点, $E 、 F$ 两点为弧 $A B$ 上的三等分点, 则 $C F \cdot D E=$
已知 $P$ 是半径为 1 圆心角为 $\frac{2 \pi}{3}$ 的一段圆弧 $A B$ 上的一点, 若 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}$, 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的取值范围是