已知对任意平面向量 $\overrightarrow{A B}=(x, y)$, 把 $\overrightarrow{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到向量 $A P=\left(x {\cos } \theta-\right.$ $\left.y {\sin } \theta, x {\sin } \theta+y {\cos } \theta\right)$, 叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到点 $P$. 已知平面内点 $A(2,1)$, 点 $B(2+t, 1-t),|\overrightarrow{A B}|=2 \sqrt{2}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{O A}>0$, 点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{3}$ 角得到点 $P$, 则 ( ）
A. $|\overrightarrow{B P}|=2 \sqrt{2}$
B. $\overrightarrow{A B}=(-2,2)$
C. $B$ 的坐标为 $(4,-1)$
D. $P$ 的坐标为 $(3+\sqrt{3}, \sqrt{3})$