勒洛三角形是一种典型的定宽曲线, 以等边三角形每个顶点为圆心, 以边长为半径, 在另两个顶点间作一段圆弧, 三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形. 在如图所示的勒洛三角形中, 已知 $A B=2, P$ 为弧 $A C$上的点且 $\angle P B C=45^{\circ}$, 则 $\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{C P}$ 的值为
A. $4-\sqrt{2}$
B. $4+\sqrt{2}$
C. $4-2 \sqrt{2}$
D. $4+2 \sqrt{2}$