【35212】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 解答题 已知函数 $f(x)=(x+a) \ln x$ 有两个极值点 $x_1, x_2$ ，且 $0<x_1<x_2$ ． （1）求实数 $a$ 的取值范同； （2）证明：$\frac{1}{2 x_2}+\frac{1}{x_1}>\frac{3}{2 a}$ ； （3）证明：$\frac{\ln (n+1)}{3}>\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{3 n+2}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．

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【35211】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 解答题 如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\triangle A B C$ 为正三角形，$P A=P B=\sqrt{6}, A B=P C=2 \sqrt{3}, E, F$分别为棱 $P B, P C$ 上的动点，且 $B C / /$ 平面 $A E F$ ． （1）证明：平面 $A B C \perp$ 平面 $P A B$ ； （2）若截面 $A E F$ 将三棱锥 $P-A B C$ 截成上下两部分的体积之比为 $1: 3$ ，求平面 $A E F$与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值； （3）若球 $O$ 是三棱锥 $P-A B C$ 的外接球，若平面 $A E F$ 截球 $O$ 所得的截面的面积为 $3 \pi$ ，求 $\frac{P E}{P B}$ ． [img=/uploads/2025-12/a0bc8c.jpg][/img]

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【35210】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \sin C=2 \sqrt{2} c \cos B \cos C-2 \sqrt{2} b \sin ^2 C$ ， $a \sin B=4 \sqrt{2}$ ． （1）求 $b$ ； （2）若 $B C$ 边上的高为 $\frac{20 \sqrt{2}}{9}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．

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【35209】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 解答题 已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right) \cos \varphi+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right) \sin \varphi(0<\varphi<\pi)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 对称． （1）求 $\varphi$ ； （2）若 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求函数 $f(x)$ 的最值及取最值时的 $x$ 的值； （3）若 $0<\alpha<\pi$ ，且 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1}{4}$ ，求 $\cos (\alpha+\varphi)$ 。

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【35208】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$ ，且 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2(2 n+1)}{2 n-1}$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．

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【35207】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 填空题 已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{x^2-2 x+2}+x-1\right)$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 为公差不为 0 的等差数列，若 $f\left(a_1\right) +f\left(a_2\right)+f\left(a_3\right)+f\left(a_4\right)+f\left(a_5\right)=0$ ，则 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=$

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【35206】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 填空题 两个非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，满足 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ ，则向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 夹角的余弦值的最小值为

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【35205】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 填空题 函数 $f(x)=\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的定义域为

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【35204】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 多选题 在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中， $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}+z \overrightarrow{A A_1}$ ，则

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【35203】 【 华师联盟2026届高三12月联考数学试卷卷】 多选题 设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，公差为 $d$ ，首项为 $a_1$ ，若 $S_8>S_2, S_{11}<0$ ，则下列结论正确的是

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