填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=x^3+3 x^2-9 x$ 的凹区间为
$y=x \ln \left( e +\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{n+2 n}\right)=$
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设方程 $\int_0^{x y} e ^{-t^2} d t+\int_0^{y^2} \frac{\sin x}{x} d x=\ln y$ ，求 $y^{\prime}$ ．
已知函数 $f(x)=x^{2}+x \ln x$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 在区间 $[1, \mathrm{e}]$ 上的最大值；
（2）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a x^{3}$ 有两个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin (C-B)=b \sin (A-C)$ ．
（1）若 $C=2 B$ ，求 $A$ 的值；
（2）求 $C$ 的最大值．
不定积分 $\int \frac{\ln (x+1)}{2 \sqrt{x}} d x=$
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，且 $a_1=1, a_n=T_{n-1}(n \geq 2)$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $m$ 为整数，且对任意 $n \in N ^*, m \geq \frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+ L +\frac{n}{a_n}$ ，求 $m$ 的最小值．
已知函数 $f(x)= e ^{2 x}-5 e ^x+\lambda x$ ．
（1）若 $\lambda=2$ ，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上存在零点，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
设 $f(x)=\int_{x^2}^1 e^{-t^2} d t$ ，计算定积分 $\int_0^1 x f(x) d x$ ．
已知 $f^{\prime}\left(\sin ^2 x\right)=\cos 2 x+\tan ^2 x\left(0 \leq x < \frac{\pi}{2}\right), f(0)=1$ ，求 $f(x)$
设 $f(x)= e ^{-x}$ ，求 $\int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} d x$
$\int \frac{1}{x^4+1} d x$
求导
(3) $y=\ln \left[\sin \left(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\right)\right]$;
(4) $y=\sin \left[\ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)\right]$.
$f(x)$ 连续且满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t}{x^2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t}$ ；
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right) < 0$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=k f(\xi)$ ．
计算定积分 $\int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{x e^x}{\sqrt{e^x-1}} d x$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x}{\cos 2 x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ 。
$\int \frac{d x}{2+\cos x}$
求二阶微分方程 $x y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2 \ln x$ 的通解。
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^x \sin ^2 x$ 的通解。