填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $y=f\left(\frac{2 x-1}{2 x+1}\right), f^{\prime}(x)=\arctan x^2$ ，则 $y^{\prime}(0)=$
在 $\triangle A B C$ 中，$a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 的对边，且 $B$ 为锐角，若 $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{5 c}{2 b}, \sin B=\frac{\sqrt{7}}{4}, S_{\triangle A B C}=\frac{5 \sqrt{7}}{4}$ ，则 $b$ 的值为 $\qquad$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2}{\pi} \arccos x\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left[\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{x}}-1\right]$ 之值.
求 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 e ^{-x} \cos x+ e ^{2 x}(4 x+5)$ 的通解．
求由方程 $y^5+2 y-x-3 x^7=0$ 所确定的隐函数在 $x=0$ 处的一阶导数与二阶导数
求函数 $f ( x )= x +\sqrt{ 1 - x },- 5 \leq x \leq 1$ 的最大值及最小值。
已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $x > 0$ 时，$f(x) < -1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（3）设 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\mathrm{L}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} > \ln (n+1)$ ．
不定积分 $\int \frac{\ln (x+1)}{2 \sqrt{x}} d x=$
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x} d x$ ．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n+1}=2 a_{n}-a_{n-1}, n \geq 2, n \in \mathrm{~N}^{*}, a_{1}+a_{5}=14, S_{7}=70$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$中，$b_{1}+b_{2}=12$ ，且 $b_{1}, b_{2}+6, b_{3}$ 成等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $c_{n}$ 为区间 $\left(a_{n}, b_{n}\right]\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ 中的整数个数，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $P_{n}$ ．
$\int_0^3 \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}} d x$ 。
$\int \sec ^4 x \tan ^2 x d x$;
微分方程 $y^{\prime \prime}-\frac{1}{x} y^{\prime}-x e ^x=0$ 的通解为 $\qquad$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}=3 \sqrt{y}$ 满足 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$ 的特解为
（仅数学一）求微分方程 $\cos y \frac{d y}{d x}-\sin y= e ^x$ 的通解．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$0 < a < b$ ，证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $a \ln b-b \ln a=\left(a b^2-b a^2\right) \frac{1-\ln \xi}{\xi^2}$ ．