填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{\sin 2 x}\right)}{e^x-1}=3$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{\frac{1}{x}}+1, \quad x < 0, \\ a, \quad x=0, \\ \frac{\sin (b x)}{x}, x>0\end{array}\right.$, 试确定 $a, b$ 之值, 使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x}, \quad x \neq 0 \\ a, \quad x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 则 $a=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (1+x) \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的值。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n}=$
求极限$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln \left(1+\sin ^2 x\right)}-\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}\right]$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(1-\sqrt{\frac{2 n-1}{2 n}}\right)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^n+3^n}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_0^{x^2} \ln \sqrt[3]{1+t} d t}{\left[\left(1+2 x^2\right)^x-1\right] \sin ^2 \sqrt{x}}$