填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$y=\frac{\arcsin x+\arccos x}{e^x}(-1 \leq x \leq 1)$, 求 $y^{(n)}$
设 $y=(1+\sin x)^x$, 则 $\left.d y\right|_{x=\pi}=$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln [f(x)+2]}{x-\sin x}=1$, 则 $f^{\prime}(0)=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x \in[0,1), \\ 2 x, & x \in[1,2] .\end{array}\right.$ 求 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式,并讨论 $F(x)$ 在 $x=1$ 点的可导性。
函数 $f(x)=x^3-5 x^2+3 x+5$ 的拐点坐标为
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f(0)=0$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^3\right)-2 x^2 f(x)}{\ln \left(1+x^3\right)}=$
设曲线 $y=f(x)$ 和 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处有公共的切线，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{n}{n+2}\right)=$
$y=x \ln \left( e +\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，求：
（1） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$ ；
（2） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{2 h}$ ．
曲线 $y=x \ln \left(e+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的斜渐近线方程为 $
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，满足:
$$
f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)>0 .
$$
证明: 至少存在不同的两点 $\xi, \eta \in[a, b]$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\eta)=0 .
$$
应用三阶泰勒公式求 $\sin 18^{\circ}$ 的近似值, 并估计误差.
设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right] .$
求极限$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \sin x^2}$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3 x^2}-\sqrt[4]{x^4-2 x^3}\right)$
求函数 $f(x)=(x-4)(x+1)^{\frac{2}{3}}$ 的极值．
求曲线 $y=3 x^4-4 x^3+1$ 的拐点及凹，凸的区间．
设有方程 $3 f(x)+4 x^2 f\left(-\frac{1}{x}\right)+\frac{7}{x}=0$ ，求 $f(x)$ 的极值
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，任取 $p>0, q>0$ ，证明：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $p f(a)+q f(b)=(p+q) f(\xi)$ ．
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x) < 1$ ，证明：
$$
F(x)=2 x-1-\int_0^x f(t) d t
$$
在区间 $(0,1)$ 内只有一个零点．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $I=\int_0^1 f(x) d x \neq 0$ ．证明：存在两个不同的点 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\frac{1}{f(\xi)}+\frac{1}{f(\eta)}=\frac{2}{I}$ ．
设函数 $f(x)=x^3+a x^2+b x+2$ 在 $x=1$ 和 $x=2$ 处取得极值．
（1）试确定 $a$ 与 $b$ 的值；
（2）求出函数的拐点；
（3）证明 $f(2)$ 是极小值。
设 $f(x)=x^2 e^{3 x+2}$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
设 $y=\tan (x+y)$ ，求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e ^y+x y= e$ 所确定，求 $y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0)$ ．
$y=\sqrt{\frac{x-1}{x(x+2)}}$ 求 $y^{\prime}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right) < 0$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=k f(\xi)$ ．
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, \pi]$ 上连续；在开区间 $(0, \pi)$ 内可导，证明：存在 $\xi \in(0, \pi)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=-f(\xi) \cot \xi$ ．
已知 $0 < a < b$ ，证明：$\xi \in(a, b),\left(\ln ^2 b-\ln ^2 a\right) \xi=2(b-a) \ln \xi$ ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上连续，在 $(1,2)$ 内可导，且 $f(2)=0$ ．证明：至少存在一点 $\xi \in(1,2)$ 使得
$$
\xi \ln (\xi) f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 0,1 上可导，$f(1)=C$ ，证明：在 0,1 内存在 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]
$$