单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小, 则 $k=$
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4 .
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量 $\alpha=\int_0^x \cos t^2 d t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} d t, $ $ \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 d t$
排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$.
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$.
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$.
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$.
设 $x \rightarrow 0$ 时, $e ^{\tan x}- e ^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小, 则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4.
设函数 $y=f(x)$ 有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=2$, 则当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处增量 $\Delta y$ 是（）
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小
$\text{C.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\ln (1+x)$ 与 $x$ 比较是 ( ).
$\text{A.}$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ 等价的无穷小
$\text{C.}$ 同阶的无穷小
$\text{D.}$ 低阶的无穷小
设 $\alpha(x)=\frac{1-x}{1+x}, \beta(x)=3-3 \sqrt[3]{x}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时 $($ )
$\text{A.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小, 但不是等价无穷小;
$\text{B.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$是等价无穷小;
$\text{C.}$ $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶的无穷小;
$\text{D.}$ $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小.
设对任意的 $x$, 总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$, 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}|g(x)-\varphi(x)|=0$ 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不等于零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
设 $\sin x^n\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)+1$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $g(x)=k \int_0^x\left( e ^{t^2}-1\right) d t$, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=6, n=2$
$\text{B.}$ $k=4, n=2$
$\text{C.}$ $k=6, n=3$
$\text{D.}$ $k=4, n=3$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leq 1 \\ a x+b, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导, 则 (
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-1$
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$, 其中 $a, b$ 是常数, 则 $a=$ $\qquad$ , $b=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x-\sin x+\ln (1+x)}{x \sin ^2 x}$ 。
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
确定 $A$ 及 $n$, 使当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=\ln \left(x^2+\sqrt{1+x^2}\right)$ 与 $g(x)=A x^n$,是等价无穷小.
应用等阶无穷小性质, 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan (1+x)-\arctan (1-x)}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^6+5 x^3+7\right)}{\ln \left(x^2-3 x+4\right)}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\tan ^3 x-3 \tan x}{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}$.
确定 $a, b$ 之值, 使当 $x \rightarrow-\infty$ 时, $f(x)=\sqrt{x^2-4 x+5}-(ax+b)$为无穷小
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)^2+(2 x+1)^2+(3 x+1)^2+\cdots+(10 x+1)^2}{(10 x-1)(11 x-1)}$
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+4 n+3}{3 n^2-5 n+1}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^4+3 n^3-6}-(n-1)(n+1)}{n}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^2}{n^3}\left[1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2\right]$ (其中 $a>0$ )
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 \times 3^n+3 \times(-2)^n}{3^n}$.
求 $a, b$ 使函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+2 x+3 & x \leq 0 \\ a x+b & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续可导