单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 $(\quad)$
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 有可去间断点
$\text{C.}$ 有跳跃间断点
$\text{D.}$ 有无穷间断点
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{f(3 x)}=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $3 / 2$
$\text{B.}$ $2 / 3$
$\text{C.}$ $1 / 3$
$\text{D.}$ $4 / 3$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \sin \frac{1}{x}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-3 x \sin \frac{1}{x}\right)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$;
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$
计算极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{3}{n^2}+\cdots+\sin \frac{2 n-1}{n^2}\right)$.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin \cos x-\sin \sin 1}{\cos \cos \cos x-\cos \cos 1}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\sin 2 x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan m x}{\sin n x} \quad(m, n$ 为非零常数 $)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\sec x+\tan x)}{\sin x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^n-1}{x-1}$, ( $n$ 为任意实数).
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sec \frac{\pi}{n}\right)^{n^2}$.
设 $x_n=\frac{a^n \cdot n!}{n^n}$ 其中 $a>0$ 是常数, $n$ 为正整数, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+3 x)}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos a x}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{5 x-1}-\sqrt{2 x+5}}{x^2-4}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2 n+a}-\sqrt{2 n-1}}{\sqrt{n+b}-\sqrt{n+2}} . \quad(a>0, b>0$ 且 $b \neq 2)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[(\cos x)^{\sin x}-1\right]}{x^3}$ 之值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sin x-1}{\arcsin x^2}$