单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=(x-[x]) \sin 2 \pi x$ 是
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
$f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限 $f\left(x_0^{+}\right)$和左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$存在且相等是 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的 $\qquad$条件
$\text{A.}$ 必要
$\text{B.}$ 充分
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 充分不必要
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{E.}$ $1$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
$\text{E.}$ $\sqrt{e}$.
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内无界的 ( ) 条件。
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充分必要
$\text{D.}$ 无关
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}=$
若 $f(x)$ 是 $x$ 的二次函数, 且 $f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2 x$, 求 $f(x)$ 的表达式.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $f(0)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (1+x) \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的值。
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n$
$\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_0^{\sqrt{x}} \ln \left(1+t^4\right) d t}{x^{\frac{5}{2}}}$;
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n}=$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 求正常数 $a, b$, 使得 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_0^x \frac{ t ^2 d t}{\sqrt{a+t^2}}=3$
设 $f(x)=\sqrt{x+2}-2 \sqrt{x+1}+\sqrt{x}, g(x)=\frac{A}{x^k}$,确定 $k$ 及 $A$, 使当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \sim g(x)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{10000 n}{n^2+1}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 a^n+2(-b)^n}{3 a^{n+1}+2(-b)^{n+1}}$. (其中 $a>b>0$ ).
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n})$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{2+2^{\frac{1}{x}}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x \cdot \arcsin \frac{1}{x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x\left(1+e^x\right)}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}} \arctan \frac{1}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sqrt{1+\sin \frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{|\sin x|}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3 x)^5-(1+2 x)^7}{(2 x-1)^2-1}$ 之值.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{1-\sqrt{1+x^2}}$
$\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_0^{x^2} \ln \sqrt[3]{1+t} d t}{\left[\left(1+2 x^2\right)^x-1\right] \sin ^2 \sqrt{x}}$
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有非负的二阶导函数, 在 $x=0$ 处连续, 并且 $f(0)=0$, 证明: 对于任意的 $x_1>0, x_2>0$, 都有 $f\left(x_1+x_2\right) \geq f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$ 。