单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$, 且 $a \neq 0$, 则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$.
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$.
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$.
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$.
当 $x \rightarrow 0$ 时,变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷小.
$\text{B.}$ 无穷大.
$\text{C.}$ 有界的, 但不是无穷小.
$\text{D.}$ 无界的, 但不是无穷大.
函数 $f(x)=x \sin x$
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时为无穷大.
$\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界.
$\text{C.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界.
$\text{D.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时有有限极限.
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 。
$\text{C.}$ 为 $\infty$ 。
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$, 其中 $k, c$ 为常数, 且 $c \neq 0$, 则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $a=0, b=-2$.
$\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{D.}$ $a=1, b=-2$.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛,则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛.
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛.
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛。
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设数列通项
$$x_n=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}, & n \text { 为奇数, } \\
\frac{1}{n}, & n \text { 为偶数. }
\end{array}\right.
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $ x_n$ 是
$\text{A.}$ 无穷大量.
$\text{B.}$ 无穷小量.
$\text{C.}$ 有界变量.
$\text{D.}$ 无界变量.
设实数数列 $\left\{a_n\right\}$, 给出以下四个命题:
1) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin a_n=\sin A$.
2) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin a_n=\sin A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$.
3) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}=e^A$.
4) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}=e^A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$.
其中真命题的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
$\text{E.}$ 4
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{n}\right)^{n^2}=$
设 $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{(n+k)(n+k+1)}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{2 n} \frac{i-1}{n^3} \sin \left(\frac{\pi i}{n}\right) \cdot \sqrt{1-\sin \frac{2 \pi j}{n}}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{n}\left(\cos ^2 \frac{\pi}{n}+\cos ^2 \frac{2 \pi}{n}+\cdots \quad \frac{n-1}{n} \pi\right)=$
解答题 （共 27 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$.
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)$
计算极限在 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (a+x)+\ln (a-x)-2 \ln a}{x^2} \quad(a>0)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}$.
计算极限 $\lim _{x \rightarrow a+0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}} \quad(a \geq 0)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x}-1}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)+\ln \left(1-x+x^2\right)}{\sec x-\cos x}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln \frac{e^x+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}$
计算极限： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\sqrt{n^2+a^2} \cdot \pi\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^2-1}{\ln |x|}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[\ln (1+x)-\ln (x-1)] x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[(x+2) \ln (x+2)-2(x+1) \ln (x+1)+x \ln x] x$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+0}(\cos \sqrt{x})^{\frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]^{\cot x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(\sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{1}{x}}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos ^x \frac{\pi}{\sqrt{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \alpha}\left(\frac{\cos x}{\cos \alpha}\right)^{\frac{1}{x-\alpha}} \quad\left(\alpha \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z\right.$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x_0+x\right)+\ln \left(x_0-x\right)-2 \ln x_0}{x^2} \quad\left(x_0>0\right)$.
设 $f(x)=e^{(a+x)^2}+e^{(a-x)^2}-2 e^{a^2}$ ( $a$ 为常数), $g(x)=A x^n$
求 $A$ 及 $n$, 使当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x) \sim g(x)$.
设 $f(x)=\sin x-2 \sin 3 x+\sin 5 x, \quad g(x)=A x^n$, 求 $A$ 及 $n$, 使当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x) \sim g(x)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(2+3 e^{2 x}\right)}{\ln \left(3+2 e^{3 x}\right)}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n!}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{\pi}{2^{n-1}}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\arctan \frac{n+1}{n}-\frac{\pi}{4}\right) \sqrt{n^2+1}$.