单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ 的极限为 ( )。
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 不存在
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{\sin 2 x}\right)}{e^x-1}=3$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$.
解答题 （共 36 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$解
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 x \ln 2\right]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n^2-2}{3 n^2+4}\right)^{n(n+1)}$
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n+1}{2 n-1}\right)^n$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n$, 其中 $a>0, b>0$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[e^{\left(2+\frac{1}{n}\right)}+e^{\left(2-\frac{1}{n}\right)}-2 e^2\right]$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)$, 其中 $a>0$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{n^2+1}}{n+1}\right)^n$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[\ln \left(a+\frac{1}{n}\right)+\ln \left(a-\frac{1}{n}\right)-2 \ln a\right]$ , $a>0$
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(e^{\frac{a}{n}}-e^{\frac{b}{n}}\right)$, 其中 $a, b$
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+e^{\frac{1}{n}}\right)^n$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^{\frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x^2-x+1}{2 x^2+x-1}\right)^x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+1}{2 x-1}\right)^{3 x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(1+e^{a x}\right) \ln \left(1+\frac{b}{x}\right) \quad(a, b$ 为常数, 且 $a>0)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x a^x}{1+x b^x}\right)^{\frac{1}{x^2}} \quad(a>0, b>0$ 且 $a \neq 1, b \neq 1, a \neq b)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{5 x}-1}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^{3 x}}{\sin x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{3 x}-1}{x} \quad(a>0, a \neq 1)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x-a^a}{x-a},(a>0, a \neq 1)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0} \quad\left(x_0>0\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}, \quad(a>0, b>0)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(a x+e^{b x}\right)^{\frac{1}{x}},(a, b$ 为正的常数)
求极限 $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(5-2 x)^{\frac{1}{3}}+\sqrt{x-2}}{x-3}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+a x)^{\frac{1}{n}}-1}{x}$ ( $n$ 为自然数). $a \neq 0$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-4 x)^{\frac{1}{2}}-(1+6 x)^{\frac{1}{3}}}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+5 x}-\sqrt{1-3 x}}{x^2+2 x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^m-x^n}{x^m+x^n-2} \quad$ ( $m$ 、 $n$ 为正整数).
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{e}{n}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^3-\left(1-x^2\right)^4}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a^x}{1+a^{2 x}} \quad(a>0, a \neq 1)$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 \times 10^n-3 \times 10^{2 n}}{3 \times 10^{n-1}+2 \times 10^{2 n-1}}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(1-\sqrt{\frac{2 n-1}{2 n}}\right)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$.