一、解答题 （ 共 38 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $ \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{(2-x)^{2}} dx $
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^{2}, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, & x>0,\end{array}\right.$ 求 $\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 并设 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=A$, 求 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x) f(y) \mathrm{d} y$.
计算定积分 $\int_{-2}^2(|x|+x) e^{-|x|} \mathrm{d} x$.
计算定积分 $\int_0^1 x \arcsin x \mathrm{~d} x$.
设 $x \geq-1$ ，求 $\int_{-1}^x(1-|t|) \mathrm{d} t$.
求定积分 $\int_0^3 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$.
已知 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ 及 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$.
计算 $ I=\int_3^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^4 \sqrt{x^2-2 x}} $
计算 $\int_1^4 \frac{\mathrm{d} x}{x(1+\sqrt{x})}$
求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^{x^2}\left(x^2-t\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(t)$ 为已知的连续函数.
求 $\int_0^\pi \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2, & x \leq 0 \\ e^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$.
求 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$.
求 $\int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x)^3} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_0^1 x\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$
计算 $\int_0^{\ln 2} \sqrt{1-e^{-2 x}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_0^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$.
计算积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{\left|x-x^2\right|}} \mathrm{d} x$.
计算 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，且当 $x \geq 0$ 时，
$$
f(x) F(x)=\frac{x e^x}{2(1+x)^2},
$$
已知 $F(0)=1, F(x)>0$ ，试求 $f(x)$.
计算 $I=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^{1+x}+e^{3-x}}$
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续， $f(1)=\frac{5}{2}$ ，且对所有 $x, t \in(0,+\infty)$ ，满足条件
$$
\int_1^{x t} f(u) \mathrm{d} u=t \int_1^x f(u) \mathrm{d} u+x \int_1^t f(u) \mathrm{d} u .
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+\frac{3}{2} x^2, & -1 \leq x < 0 \\ \frac{x e^x}{\left(e^x+1\right)^2}, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$, 求函数 $F(x)=\int_{-1}^x f(t) \mathrm{d} t$ 的表达式.
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 $k, k>0$ ). 汽锤第一次击打将桩打进地下 $a \mathrm{~m}$. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 $r(0 < r < 1)$. 问
（1）汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注: $m$ 表示长度单位米.)
有一平底容器，其内侧壁是由曲线 $x=\varphi(y)(y \geq 0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 m . 根据设计要求，当以 $3 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{min}$ 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 $\pi \mathrm{m}^2 / \mathrm{min}$ 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).
(1) 根据 $t$ 时刻液面的面积，写出 $t$ 与 $\varphi(y)$ 之间的关系式；
（2）求曲线 $x=\varphi(y)$ 的方程. (注: m 表示长度单位米， $\min$表示时间单位分.)
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ) 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? ( kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米 (小时).
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3.2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
如图， $C_1$ 和 $C_2$ 分别是 $y=\frac{1}{2}\left(1+e^x\right)$ 和 $y=e^x$ 的图象，过点 $(0,1)$ 的曲线 $C_3$ 是一单调增函数的图象. 过 $C_2$ 上任一点 $M(x, y)$ 分别作垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴的直线 $l_x$ 和 $l_y$. 记 $C_1, C_2$与 $l_x$ 所围图形的面积为 $S_1(x) ； C_2, C_3$ 与 $l_y$ 所围图形的面积为 $S_2(y)$. 如果总有 $S_1(x)=S_2(y)$ ，求曲线 $C_3$ 的方程 $x=\phi(y)$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的导数连续，且 $f(0)=0$ ， $f^{\prime}(x) \geq 0 ， g^{\prime}(x) \geq 0$. 证明：对任何 $a \in[0,1]$ ，有
$$
\int_0^a g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_0^1 f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geq f(a) g(1) .
$$
广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(1+x^2\right)^2}=$
求函数 $f(x, y)=x^2+2 y^2-x^2 y^2$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, y \geq 0\right\}
$$
上的最大值和最小值。
设 $f(x)$ 是区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足
$$
\int_0^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_0^x t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
$$
其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，求 $f(x)$.
设函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，且满足
$$
f(x)=\int_0^x\left(x^2-t^2\right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t+x^2 ，
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
计算 $\int_0^1 \frac{x^2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$.