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填空3试卷具体名称

数学

一、填空题（共 40 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设

f (x)

是周期为 2 的周期函数, 它在区间

(- 1, 1]

上的定义为

f (x) = {\begin{cases} 2, & - 1 < x ⩽ 0, \\ x^{3}, & 0 < x ⩽ 1, \end{cases}

则

f (x)

的傅里叶 (Fourier) 级数在

x = 1

处收敛于

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2. 设

f (x) = {\begin{cases} - 1, & - π < x ⩽ 0, \\ 1 + x^{2}, & 0 < x ⩽ π, \end{cases}

则其以

2 π

为周期的傅里叶级数在点

x = π

处收敛于

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3. 设函数

f (x) = π x + x^{2} (- π < x < π)

的傅里叶级数展开式为

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x)

, 则其中系数

b_{3}

的值为

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4. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n} + (- 3)^{n}} x^{2 n - 1}

的收敛半径

R =

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5. 设函数

f (x) = x - [x]

, 其中

[x]

表示不超过

x

的最大整数, 令

a_{n} = \int_{- 1}^{1} f (x) \cos n π x d x, b_{n} = \int_{- 1}^{1} f (x) \sin n π x d x, n = 0, 1, 2, \dots .

令

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n π x + b_{n} \sin n π x), - \infty < x < + \infty

, 则

S (- 5) =

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6.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{2^{n}}) =

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7. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上连续,在开区间

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 1

. 若三个正数

a, b, c

满足

a + b + c = 1

, 证明: 存在三个互不相等的数

ξ_{i} \in (0, 1), i = 1, 2, 3

, 使得

\frac{a}{f^{'} (ξ_{1})} + \frac{b}{f^{'} (ξ_{2})} + \frac{c}{f^{'} (ξ_{3})} = 1 .

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8. 正项级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} + \dots

的和为

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9. 设

f (x)

是周期为

2 π

的函数, 其傅里叶级数的和函数为

s (x), f (x)

在

(- π, π]

内的函数表达式为

f (x) = {\begin{array}{rr} x & 0 \leq x \leq π \\ 0 & - π < x < 0 \end{array}

, 则

s (9 π) =

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10. 设

f (x) = x^{2021} e^{2020 x} \sin x

，则

f^{(2023)} (0) =

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11. 当

a

满足 ________ 时,

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{1 - 2 a}}

条件收敛.

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12. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 1)^{n}}{n \cdot 4^{n}}

的收敛域为

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13. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n 3^{n}} x^{n}

的收敛域为

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14.

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} (\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n}}) =

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15. 设数列

{a_{n}}

满足

a_{0} = 1, a_{n + 1} = \sin a_{n}

, 则幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + \frac{1}{n}) x^{n}

的收敛域为

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16.

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{n! + 1}{(n + 2)!} =

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17. 设函数

y = y (x)

在

x = 0

附近由方程

y + 2 y^{2} + y^{3} = e^{- x} + x - 1

所确定，且

y = a x^{2} + b x^{3} + o (x^{3}) (x \to 0)

，则

a + b =

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18. 求极限

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} (\sqrt[3]{n^{2}} + \sqrt[3]{2 n^{2}} + \dots + \sqrt[3]{n \cdot n^{2}}) =

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19. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} x^{2 n}}{n (2 n - 1)}

的收敛域为

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20. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n + 1}}

的收敛域是

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21. 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 2)^{2 n}}{n \cdot 4^{n}}

的收敛域为

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22. 级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^{n}}{2^{n}}

的和为

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23.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2} + n + 1} + \frac{2}{n^{2} + n + 2} + \dots + \frac{n}{n^{2} + n + n}) =

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24. 设幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

的收敛半径为 3 ，则幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} (x - 1)^{n + 1}

收敛区间为

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25. 设函数

f (x) = a^{x} (a > 0, a \neq 1)

，则

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \ln [f (1) f (2) \dots f (n)] =

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26.

\sum_{n = 1}^{\infty} n {(\frac{1}{2})}^{n - 1} =

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27.

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} [\sqrt{1 + \cos \frac{π}{n}} + \sqrt{1 + \cos \frac{2 π}{n}} + \dots + \sqrt{1 + \cos \frac{n π}{n}}] =

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28. 设

x^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cos n x (- π \leq x \leq π)

，则

a_{2} =

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29. 设函数

y = \frac{1}{2 x + 3}

，则

y^{(n)} (0) =

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30. 已知幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x + 2)^{n}

在

x = 0

处收敛，在

x = - 4

处发散，则幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - 3)^{n}

的收敛域为

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31. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{n} - (- 1)^{n}}{n^{2}} x^{n}

的收敛半径为

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32. 极限

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} (\sin \frac{1}{n} + 2 \sin \frac{2}{n} + \dots + n \sin \frac{n}{n}) =

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33. 极限

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} (\sin \frac{1}{n} + 2 \sin \frac{2}{n} + \dots + n \sin \frac{n}{n}) =

\sin 1 - \cos 1

.

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34. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} n x^{n - 1}

在区间

(- 1, 1)

内的和函数

S (x) =

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35. 幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} x^{n}

在

(0, + \infty)

内的和函数

S (x) =

.

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36. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} e^{- n x}

的收敛域为

(a, + \infty)

，则

a =

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37. 设

f (x)

是周期为 2 的周期函数，且

f (x) = 1 - x, x \in [0, 1]

.若

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos n π x

，则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n} =

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38.

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} =

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39. 已知

f (x) = 1 + x

，若

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos n x, x \in [0, π]

则

lim_{n \to \infty} n^{2} \sin a_{2 n - 1} =

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40. 已知函数

f (x) = (e^{x} + 1) x^{2}

，则

f^{(5)} (1) =

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