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选择填空3试卷具体名称

数学

一、单选题（共 20 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微,

f (0, 0) = 0, n = {(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, - 1) |}_{(0, 0)}

且非零向量

d

与

n

垂直，则（）

A.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| n \cdot (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

B.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| n \times (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

C.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| d \cdot (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

D.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| d \times (x, y, f (x, y)) |}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

存在

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2. 设

R

为幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

的收敛半径,

r

是实数, 则 ( )

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散时,

| r | \geq R

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散时,

| r | \leq R

C.

| r | \geq R

时,

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散

D.

| r | \leq R

时,

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} r^{n}

发散

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3. 下列级数中条件收敛的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} (\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}})

B.

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} + 1}{\ln n}

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n (n + 1)}

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n \ln (1 + n)}

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4. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

在

x = 1

处条件收敛, 且

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a

存在, 则

A.

a = 1

.

B.

a = - 1

.

C.

a < 1

D.

a > 1

.

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5. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sin^{n} x + \cos^{n} x} (0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{2})

, 若

F (x)

为

f (x)

在

[0, \frac{π}{2}]

内的原函数, 则在

[0, \frac{π}{2}]

内

A.

F (x)

连续,

f (x)

可导.

B.

F (x)

不连续,

f (x)

不可导.

C.

F (x)

可导,

f (x)

可导.

D.

F (x)

可导,

f (x)

不可导.

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6. 设

a_{0} = 1, \sum_{n = 0}^{\infty} 2 a_{n} x^{n + 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = 0

, 则级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} =

）

A.

1

B.

e

C.

- 1

.

D.

e^{- 1}

.

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7. 设

k > 1

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{k n} + (- 1)^{n}}

的敛散性为

A.

绝对收敛.

B.

条件收敛.

C.

发散.

D.

收敛性与

k

的取值有关.

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8. 若正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛, 则下列级数 (1)

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

; (2)

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - 2 a_{n + 1})

; (3)

\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{a_{n}}

;
(4)

\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{a_{n} a_{n + 1}}

中一定收敛的个数为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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9. 设有函数序列

f_{n} (x) = (n + 1) x^{n}, 0 < x < 1, n = 1, 2, \dots

, 下列四个结论:
(1)

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = 0, x \in (0, 1)

; (2) 若数列

x_{n} \in (0, 1)

,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在, 则

lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{n}) = 0

;
(3)

lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x) = 0, x \in (0, 1)

; (4)

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = 0

中, 正确的是

A.

(1) 和 (2)

B.

(3) 和 (4)

C.

(1) 和 (3)

D.

(2) 和 (4)

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10. 设积分

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + x^{a}) \ln (1 + x^{b})} d x

, 其中

a > 0, b > 0

, 若该积分收敛, 则必有

A.

0 < a < 1, 0 < b < 1

B.

0 < a < 1, b > 1

C.

a > 1, 0 < b < 1

D.

a > 1, b > 1

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11. 设有函数序列

f_{n} (x) = (n + 1) x^{n}, 0 < x < 1, n = 1, 2, \dots

, 下列四个结论:
(1)

lim_{n \to} f_{n} (x) = 0, x \in (0, 1)

; (2) 若数列

x_{n} \in (0, 1), lim_{n \to} x_{n}

存在, 则

lim_{n \to} f_{n} (x_{n}) = 0

;
(3)

lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x) = 0 \cdot x \in (0.1)

; (4)

lim_{n \to} \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = 0

中, 正确的是

A.

(1) 和 (2)

B.

(3) 和 (4)

C.

(1) 和 (3)

D.

(2) 和 (4)

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12. 设积分

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + x^{a}) \ln (1 + x^{b})} d x

, 其中

a > 0, b > 0

, 若该积分收敛, 则必有

A.

0 < a < 1, 0 < b < 1

B.

0 < a < 1, b > 1

C.

a > 1, 0 < b < 1

D.

a > 1, b > 1

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13. 设有数列

{x_{n}}

，满足

- \frac{π}{2} \leq x_{n} \leq \frac{π}{2}

，则（）

A.

若

lim_{n \to \infty} \cos (\sin x_{n})

存在，则

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

B.

若

lim_{n \to \infty} \sin (\cos x_{n})

存在，则

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

C.

若

lim_{n \to \infty} \cos (\sin x_{n})

存在，则

lim_{n \to \infty} \sin x_{n}

存在，但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

D.

若

lim_{n \to \infty} \sin (\cos x_{n})

存在，则

lim_{n \to \infty} \cos x_{n}

存在，但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

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14. 已知

a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)

，若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

均收敛，则 "

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

绝对收敛 "是 "

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

绝对收敛"的( )

A.

充分必要条件

B.

充分不必要条件

C.

必要不充分条件

D.

既不充分也不必要条件

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15. 已知

{x_{n}}, {y_{n}}

满足:

x_{1} = y_{1} = \frac{1}{2}, x_{n + 1} = \sin x_{n}, y_{n + 1} = y_{n}^{2} (n = 1, 2, \dots)

则当

n \to \infty

时，（）

A.

x_{n}

是

y_{n}

的高阶无穷小

B.

y_{n}

是

x_{n}

的高阶无穷小

C.

x_{n}

与

y_{n}

是等价无穷小

D.

x_{n}

与

y_{n}

是同阶但不等价的无穷小

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16. 已知

a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)

，若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

均收敛，则 "

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

绝对收敛 "是 "

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

绝对收敛"的( )

A.

充分必要条件

B.

充分不必要条件

C.

必要不充分条件

D.

既不充分也不必要条件

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17. 已知幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

的和函数为

\ln (2 + x)

，则

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{2 n} =

A.

- \frac{1}{6}

B.

- \frac{1}{3}

C.

\frac{1}{6}

D.

\frac{1}{3}

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18. 已知数列

{a_{n}} (a_{n} \neq 0)

，若

{a_{n}}

发散，则（）

A.

{a_{n} + \frac{1}{a_{n}}}

发散

B.

{a_{n} - \frac{1}{a_{n}}}

发散

C.

{e^{a_{n}} + \frac{1}{e^{a_{n}}}}

发散

D.

{e^{a_{n}} - \frac{1}{e^{a_{n}}}}

发散

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19. 已知幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

的和函数为

\ln (2 + x)

，则

\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{2 n} =

( )

A.

- \frac{1}{6}

B.

- \frac{1}{3}

C.

\frac{1}{6}

D.

\frac{1}{3}

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20. 已知

{a_{n}}

为数列, 且对任意正整数

n, a_{n + 1} - a_{n} \neq 0

, 则下列命题中, 正确的是

A.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n + 1} - a_{n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛.

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} n (a_{n + 1} - a_{n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛.

C.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n + 1} - a_{n})

发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散.

D.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} n (a_{n + 1} - a_{n})

发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散.

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二、填空题（共 20 题），请把答案直接填写在答题纸上

21. 极限

lim_{n \to \infty} n (\frac{\sin \frac{π}{n}}{n^{2} + 1} + \frac{\sin \frac{2 π}{n}}{n^{2} + 2} + \dots + \frac{\sin \frac{n π}{n}}{n^{2} + n}) =

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22. 已知

f (x) = \frac{(x - 1) (x - 2) \dots (x - n)}{(x + 1) (x + 2) \dots (x + n)}

, 则

f^{'} (1) =

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23. 已知级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} e^{- n x}

的收敛域为

(a, + \infty)

, 则

a =

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24.

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + \frac{i}{n}} =

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25. 设

f (x)

是周期为

2 π

的周期函数, 且当

x \in (- π, π)

时,

f (x) = x \sin x

. 若

f (x) = \frac{a_{0}}{2} +

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos n x

, 则

\sum_{n = 2}^{\infty} a_{n} =

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26. 设

α > 0

, 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{α}}{α^{n}}

和级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^{3 - α} n}

均收敛,则

α

的取值范围为

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27.

y = 2^{x}

的麦克劳林公式中

x^{n}

项的系数是

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28. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1}}{2 n - 1}

的和函数是

S (x) =

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29. 幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}

在

(- \infty, + \infty)

内的和函数

S (x) =

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30. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n - 1}{2^{n}} x^{2 n - 2}

的收敛域为?

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31. 将幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{n}{2^{n}} (x - 4)^{n - 1}

展开为

x

的幂级数为

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32. 极限

lim_{n \to \infty} [\frac{\sec \frac{1}{n}}{n + 1} + \frac{\sec \frac{2}{n}}{{(n^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \dots + \frac{\sec \frac{n}{n}}{{(n^{n} + 1)}^{\frac{1}{n}}}] =

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33. 给定三个幂级数

u = 1 + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{6}}{6!} + \dots

v = x + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{7}}{7!} + \dots, w = \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{5}}{5!} + \frac{x^{8}}{8!} + \dots

则

u^{3} + v^{3} + w^{3} - 3 u v w - 1 =

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34. 幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 1)^{n + 1}}{3^{n}}

的收敛域为

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35. 函数

\cos x

在

x = \frac{π}{2}

处的幂级数展开为

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36. 幂级数

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{(2 k - 1)!} x^{2 k}

的和函数

S (x) =

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37.

\int_{0}^{1} x (1 - \frac{x^{2}}{1!} + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{6}}{3!} + \dots) d x =

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38. 已知

f (x) = x^{2} - x, 0 \leq x \leq 1

, 记

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin n π x

，其中

b_{n} = 2 \int_{0}^{1} f (x) \sin n π x d x, n = 1, 2, \dots

，则当

x \in (1, 2)

时，

S (x) =

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39. 讨论级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1}}{\ln^{2} n}

收敛性。

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40. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{3}}{3^{n}} (x - 1)^{n}

的收敛半径与收敛区间。

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