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填空2试卷具体名称

数学

一、填空题（共 40 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设

Σ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

的外侧，

\cos α, \cos β, \cos γ

是其外法向量的方向余弦，则

\iint_{Σ} \frac{x \cos α + y \cos β + z \cos γ}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} d S =

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2. 设函数

f (x, y)

可微,

f (x, y)

在点

P_{0} (1, 1)

处指向点

P_{1} (- 7, 16)

的方向导数等于

\frac{13}{17}

,指向点

P_{2} (6, - 11)

的方向导数等于

- \frac{16}{13}

, 则

f (x, y)

在点

P_{0} (1, 1)

处的最大方向导数为

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3. 设函数

f (u)

在曲面

Σ : z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} (z \geq 0)

上连续, 则曲面积分

I = \iint_{Σ} [x y \sqrt{x^{4} + y^{4} + 1} +

z f (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1)] d S =

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4. 设

a, b, c, μ > 0

，曲面

x y z = μ

与曲面

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

相切，则

μ =

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5. 设

z = x^{y} + y^{x}

, 则函数在

(1, 1)

处的全微分为

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6.

D

是由

y = e^{x}, x = 0, x = 1, y = 0

所围成区域, 则

\iint_{D} d σ =

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7. 设

Ω

由

0 ⩽ z ⩽ 1 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}

所确定, 则其形心坐标是

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8. 设

u = \ln (1 + x y + y z^{3})

，则

{grad u |}_{(1, 2, 1)} =

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9. 设曲线

L : y = \frac{x^{2}}{2} (0 \leq x \leq 1)

，则曲线积分

\int_{L} x d s

的值为

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10. 曲线

f (x) = 2 x + \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}

的渐近线为?

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11. 设曲线

L : {\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 2 x, \\ 2 x - y - z = 1, \end{cases}

从

z

轴正向看为逆时针方向, 则

\oint_{L} y^{2} d x + (z + 1) d y + x d z =

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12. 设函数

f (x, y) = e^{x + y}

, 点

(a, b)

为圆周

x^{2} + y^{2} = 1

上的动点,

D

为中心在原点的正方形. 若要使积分

I (a, b) = \iint_{D} f (a + x, b + y) d x d y

最大, 则

(a, b)

应取

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13. 在定向为逆时针方向的椭圆

C : \frac{1}{4} x^{2} + y^{2} = 1

上选取一段曲线

L

, 使得曲线积分

\int_{L} d x + 2 d y

最大, 则这个最大值为

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14. 设函数

f (x, y)

连续, 区域

D

是由曲线

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 x y

在第一象限所围成的部分, 则

\iint_{D} f (x, y) d x d y

在极坐标系下先

θ

, 后

r

的二次积分为

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15. 曲线段

{\begin{cases} x = t^{3} + 1 \\ y = \frac{3}{2} t^{2} - 1 \end{cases} (0 \leq t \leq 1)

的弧长是:

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16. 设

Σ

为圆柱面

x^{2} + y^{2} = 4 (0 ⩽ z ⩽ 1)

, 则

\iint_{Σ} (x^{2} + y) d S =

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17. 设曲面

Σ

是平面

y + z = 5

被柱面

x^{2} + y^{2} = 25

所截得的部分, 则

\iint_{Σ} (x + y + z) dS =

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18. 已知平面区域

D = {(x, y) ∣ y - 2 \leq x \leq \sqrt{4 - y^{2}}, 0 \leq y \leq 2}

, 计算

I = \iint_{D} \frac{(x - y)^{2}}{x^{2} + y^{2}} d x d y

.

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19. 已知

Σ

为曲面

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 (x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)

的上侧,

L

是

Σ

的边界曲线, 其正向与与

Σ

的正法向量满足右手法则, 计算积分曲线

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20. 设

r = (x, y, z), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

, 函数

f (x)

可微, 曲线

L

是一条有限的、不经过坐标原点的单侧光滑曲面

S

的边界曲线,

L

的正向与曲面

S

的正向符合右手法则, 则

\oint_{L.} \frac{x}{r} f (r) d x + \frac{y}{r} f (r) d y + \frac{z}{r} f (r) d z =

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21. 设

y^{'} = f (x, y)

是一条简单封闭曲线

L

(取正向),

f (x, y) \neq 0

, 其所围区域记为

D, D

的面积为

a, a > 0

, 则

I = \oint_{L} x f (x, y) d x - \frac{y}{f (x, y)} d y =

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22. 由曲线

x y = 3, x + y = 4

围成的平面区域绕

x

轴旋转一周所成旋转体体积为

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23. 设曲线积分

\int_{L} f^{'} (x) d y - 4 y f (x) d x

与路径无关, 其中

f (x)

具有二阶连续导数, 并且

lim_{x \to 0} f (x) - 1

存在, 则

f (x) =

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24. 曲线

y = \ln \cos x (0 \leq x \leq \frac{π}{6})

的弧长为

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25. 已知

D : x^{2} + y^{2} ⩽ 1, y ⩾ 0

, 则

\iint_{D} (x^{3} \cos y + y) d x d y =

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26. 曲线

{\begin{cases} \frac{x^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{4} = 1 \\ y = 0 \end{cases}

绕

z

轴旋转而成的旋转曲面方程为

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27. 设曲线

Γ

的极坐标方程为

r = \sin 2 θ (0 \leq θ \leq \frac{π}{2})

, 则

Γ

围成有界区域的面积为

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28. 已知曲线

L : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1

, 则

\oint_{L} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}) d s =

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29. 曲线积分

\oint_{L} (x - y^{2}) d s =

? 其中

L

是圆周

x^{2} + y^{2} = 1

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30. 求曲线段

y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} (0 \leq x \leq 3)

的弧长

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31. 设曲线

L : x^{2} + y^{2} = 16

，取逆时针方向，则

\oint_{L} \frac{y d x - x d y}{x^{2} + x y + y^{2}} =

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32. 已知

f (x, y) = x y + x^{2} y \iint_{D} x y f (x, y) d x d y

, 其中

D : y = x, y = 0, x = 1

所围成区域, 则

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} =

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33. 设

L : y = \frac{x^{2}}{2} (0 \leq x \leq 1)

，则曲线积分

\int_{L} x d s

值为

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34. 设曲线

C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0

，则曲线积分

\int_{C} (x + y) d s =

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35. 在力场

\vec{F} = (- y, x)

的作用下，质点在以

(0, 0), (1, 0), (0, 1)

为顶点的三角形上沿顺时针方向运动一周，则在该过程中力场对质点所做的功是

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36. 曲线积分

\oint_{L} (x - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}) d x + (y + \frac{x}{x^{2} + y^{2}}) d y =

其中

L : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

为逆时针方向.

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37. 已知曲面

Σ : x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0)

，则

\oint_{Σ} (x + z)^{2} d S

的值为

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38. 计算

\int_{L} (x + y) d s

, 其中

L : x^{2} + y^{2} = 2 x

。

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39. 计算

∭_{Ω} (x + y + z) d x d y d z

, 其中

Ω : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} \leq 1

。

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40. 设

L :

点

(0, 0)

到点

(1, 1)

的直线段.则

\int_{L} x^{2} d s =

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他的试卷

不定积分计算选择2试卷具体名称函数与极限解答题4（37）解答2试卷具体名称函数与极限解答题3

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