一、填空题 （共 40 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外侧， $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是其外法向量的方向余弦，则
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} S=
$$
设函数 $f(x, y)$ 可微, $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处指向点 $P_1(-7,16)$ 的方向导数等于 $\frac{13}{17}$,指向点 $P_2(6,-11)$ 的方向导数等于 $-\frac{16}{13}$, 则 $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,1)$ 处的最大方向导数为
设函数 $f(u)$ 在曲面 $\Sigma: z=\sqrt{1-x^2-y^2}(z \geq 0)$ 上连续, 则曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left[x y \sqrt{x^4+y^4+1}+\right.$ $\left.z f\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\right] \mathrm{d} S=$
设 $a, b, c, \mu>0$ ，曲面 $x y z=\mu$ 与曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 相切，则 $\boldsymbol{\mu}=$
设 $z=x^y+y^x$, 则函数在 $(1,1)$ 处的全微分为
$D$ 是由 $y=\mathrm{e}^x, x=0, x=1, y=0$ 所围成区域, 则 $\iint_D \mathrm{~d} \sigma=$
设 $\Omega$ 由 $0 \leqslant z \leqslant 1-\sqrt{x^2+y^2}$ 所确定, 则其形心坐标是
设 $u=\ln \left(1+x y+y z^3\right)$ ，则 $\left.\operatorname{grad} u\right|_{(1,2,1)}=$
设曲线 $L: y=\frac{x^2}{2}(0 \leq x \leq 1)$ ，则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} s$ 的 值为
曲线 $f(x)=2 x+\sqrt{x^2-2 x+3}$ 的渐近线为?
设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2 x, \\ 2 x-y-z=1,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向看为逆时针方向, 则
$$
\oint_L y^2 \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} y+x \mathrm{~d} z=
$$
设函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x+y}$, 点 $(a, b)$ 为圆周 $x^2+y^2=1$ 上的动点, $D$ 为中心在原点的正方形. 若要使积分 $I(a, b)=\iint_D f(a+x, b+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 最大, 则 $(a, b)$ 应取
在定向为逆时针方向的椭圆 $C: \frac{1}{4} x^2+y^2=1$ 上选取一段曲线 $L$, 使得曲线积分 $\int_L \mathrm{~d} x+2 \mathrm{~d} y$ 最大, 则这个最大值为
设函数 $f(x, y)$ 连续, 区域 $D$ 是由曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 x y$ 在第一象限所围成的部分, 则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 在极坐标系下先 $\theta$, 后 $r$ 的二次积分为
曲线段 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+1 \\ y=\frac{3}{2} t^2-1\end{array}(0 \leq t \leq 1)\right.$ 的弧长是:
设 $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=4(0 \leqslant z \leqslant 1)$, 则 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y\right) \mathrm{d} S=$
设曲面 $\Sigma$ 是平面 $y+z=5$ 被柱面 $x^2+y^2=25$ 所截得的部分, 则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{dS}=$
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^2}, 0 \leq y \leq 2\right\}$, 计算 $I=\iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} d x d y$.
已知 $\Sigma$ 为曲面 $4 x^2+y^2+z^2=1(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 的上侧, $L$ 是 $\Sigma$ 的边界曲线, 其正向与与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则, 计算积分曲线
设 $r=(x, y, z), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 函数 $f(x)$ 可微, 曲线 $L$ 是一条有限的、不经过坐标原点的单侧光滑曲面 $S$ 的边界曲线, $L$ 的正向与曲面 $S$ 的正向符合右手法则, 则 $\oint_{\text {L. }} \frac{x}{r} f(r) \mathrm{d} x+\frac{y}{r} f(r) \mathrm{d} y+\frac{z}{r} f(r) \mathrm{d} z=$
设 $y^{\prime}=f(x, y)$ 是一条简单封闭曲线 $L$ (取正向), $f(x, y) \neq 0$, 其所围区域记为 $D, D$ 的面积为 $a, a>0$, 则 $I=\oint_L x f(x, y) \mathrm{d} x-\frac{y}{f(x, y)} \mathrm{d} y=$
由曲线 $x y=3, x+y=4$ 围成的平面区域绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体体积为
设曲线积分 $\int_L f^{\prime}(x) \mathrm{d} y-4 y f(x) \mathrm{d} x$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 并且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)-1$ 存在, 则 $f(x)=$
曲线 $y=\ln \cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
已知 $D: x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0$, 则 $\iint_D\left(x^3 \cos y+y\right) d x d y=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{4}=1 \\ y=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转而成的旋转曲面方程为
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成有界区域的面积为
已知曲线 $L: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$, 则 $\oint_L\left(x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{4}{3}}+2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}\right) \mathrm{d} s=$
曲线积分 $\oint_L\left(x-y^2\right) d s=$ ? 其中 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=1$
求曲线段 $y=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}(0 \leq x \leq 3)$ 的弧长
设曲线 $L: x^2+y^2=16$ ， 取逆时针方向，则
$$
\oint_L \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+x y+y^2}=
$$
已知 $f(x, y)=x y+x^2 y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: y=x, y=0, x=1$ 所围成区域, 则
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=
$$
设 $L: y=\frac{x^2}{2}(0 \leq x \leq 1)$ ，则曲线积分 $\int_L x \mathrm{~d} s$ 值为
设曲线 $C: x^2+y^2-2 x+4 y+1=0$ ，则曲线积分 $\int_C(x+y) \mathrm{d} s=$
在力场 $\vec{F}=(-y, x)$ 的作用下，质点在以 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 为顶点的三角形上沿顺时针方向运动一周，则在该过程中力场对质点所做的功是
曲线积分 $\oint_L\left(x-\frac{y}{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x+\left(y+\frac{x}{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} y=$ $\qquad$其中 $L: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 为逆时针方向.
已知曲面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$ ，则 $\oint_{\Sigma}(x+z)^2 \mathrm{~d} S$的值为
计算 $\int_L(x+y) d s$, 其中 $L: x^2+y^2=2 x$ 。
计算 $\iiint_{\Omega}(x+y+z) d x d y d z$, 其中 $\Omega:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \leq 1$ 。
设 $\mathrm{L}:$ 点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的直线段.则 $\int_L x^2 d s=$