一、解答题 （ 共 40 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n+n}\right)$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)$.
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+x-3}{x-1}=b$, 求常数 $a, b$ 的值.
求极限 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n+i}$.
设 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开 区间 $(a, b)$ 内可导， $f(a) \neq f(b)$. 证明: 存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ， 使得
$$
a b(a+b) f^{\prime}(\xi)=2 \xi \eta^2 f^{\prime}(\eta)
$$
(I) 证明: 方程 $x=1+2 \ln x$ 在 $(e,+\infty)$ 内有唯一实根 $\xi$;
(II) 取 $x_0 \in(e, \xi)$, 令 $x_n=1+2 \ln x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi$.
设 $x_1>0$, 数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=\ln \left(\mathrm{e}^{x_n}-1\right)-\ln x_n$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求值.
数列 $x_n=n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=$
数列极限 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$
(I) 设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上单调减少且非负的连续函数. 证明:
$$
f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leqslant f(k)(k=1,2, \cdots)
$$
(II) 证明 : $\ln (1+n) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \leqslant 1+\ln n$, 并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}$.
设 $f(x)=a+b x+c x^2+d x^3-\tan x$, 当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小, 则 $a+b+c+d=$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微， $f(0)=0$ ，且 存在常数 $A>0$, 使得 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq A|f(x)|$ 在 $[0,+\infty)$ 上成 立，试证明在 $(0,+\infty)$ 上有 $f(x) \equiv 0$.
证明下列不等式:
(1) 设 $x \in[0, \pi], t \in[0,1]$, 则 $\sin t x \geq t \sin x$;
(2) 设 $p>0$, 则 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin u|^p \mathrm{~d} u \geq \frac{\pi}{2(p+1)}$;
(3) 设 $x \geq 0, p>0$, 则 $\int_0^x|\sin u|^p \mathrm{~d} u \geq \frac{x|\sin x|^p}{p+1}$.
对实数 $r$, 用 $\|r\|$ 表示 $r$ 和最近的整数的距离: $\|r\|=\min \{|r-n|: n \in \mathbb{Z}\}$.
1. 试问是否存在非零实数 $s$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|(\sqrt{2}+1)^n s\right\|=0$ ?
2. 试问是否存在非零实数 $s$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|(\sqrt{2}+3)^n s\right\|=0$ ?
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
设 $f(x)=\left(x^3 e^{x^2}+1\right) \sin ^3 x+\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin ^3 x d x$, 求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内二阶可导,且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)}{x-1}=2$. 证明：
(1) 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=0$;
(2) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=f(\xi)$;
(3) 存在 $\eta \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta)-3 f^{\prime}(\eta)+2 f(\eta)=0$.
计算：$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\int_0^x\left(1+\sin ^2 t\right)^2 \mathrm{~d} t}{x^2 \sin x}$.
解答如下问题:
(1)叙述闭区间套定理.
(2) 用闭区间套定理证明聚点定理.
设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且已知
$$
x_1, x_2 \in(a, b), x_1 < x_2 \text { 且 } f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right) < 0 .
$$
证明: 存在 $\xi \in\left(x_1, x_2\right)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
若 $a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_n^{n+1} \frac{\mathrm{d} x}{x}$ ，证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 条件收敛.
设可导函数 $ f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，且对 $x \geq 1$ 时，有 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 。
( I ) 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限；
(II) 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ 。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判 $A+$ )
设 $f \in C[0,1] ， g$ 为非负的周期函数，周期为 1 ，且 $g \in R[0,1]$ ，求证:
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f(x) g(n x) \mathrm{d} x=\left(\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\int_0^1 g(x) \mathrm{d} x\right) 。
$$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^4}\left[\ln \left(1+\sin ^2 x\right)-6(\sqrt[3]{2-\cos x}-1)\right]$
求极限 $$\lim _{x \rightarrow 0} \int_0^x\left(\dfrac{\arctan t}{t}\right)^{\dfrac{1}{\int_0^t \ln (1+u) d u}} \cot x d t$$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right]^{x^2 \ln x}$.
计算极限
$$
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right) .
$$
求函数 $y=\sqrt{8+x^3}$ 的导数和微分, 并利用微分计算 $\sqrt{8+(2.001)^3}$ 的近似值
设 $f(x)=\frac{x^2-(\sin x)^2}{x^4}$.
(1) 计算 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$;
(2) 证明: 当 $x \rightarrow \infty$ 时, $f(x)$ 是关于 $\frac{1}{x}$ 的 2 阶无穷小.
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \cos x d x}{\ln \left(1+x^2\right)}$
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$
讨论下列数列的敛散性。
$$
a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\sqrt[n]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}}
$$
设序列 $x_n$ 有界, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ 。
记 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=J, \varliminf_{n \rightarrow \infty} x_n=L .(J < L)$ 。
证明对 $[J, L]$ 中的任何实数都是 $x_n$ 中某子列的极限。
求一组使得极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(\sqrt{1+t^4}-1\right) d t}{\ln \left(1-x^\alpha\right)}=\beta \neq 0,(\alpha, \beta$ 为实数) 成立的 $\alpha, \beta$ 的值.
求函数 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的一个原函数 $F(x)$,使得 $F(0)=1$.
已知 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+2 x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right]$.
求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{-\cot x}{\mathrm{e}^{-x}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{-2 x} \sin ^2 x}+\frac{1}{x^2}\right)
$$
求证
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_0^1\left(a+x^n\right) f(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1+a
$$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有定义, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f\left(\frac{x}{3}\right)}{x}=0$. 证明: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right\}^{\frac{1}{x}}\left(a_i>0, i=1,2, \cdots, n\right)$.
$\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x)^3 \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$.