一、填空题 （共 21 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=e^{f\left(\frac{1}{x}\right)}, f$ 为可微函数, 则 $d y=$
已知 $f^{\prime}\left(x_0\right)=-2$, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+3 \Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=$.
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(1+a x^2\right)^{\dfrac{1}{3}}-1$ 与 $1-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a=$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{1-\sqrt{\cos 2 x}}=$
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2+3 x-10}{x-2} & x \neq 2 \\ a & x=2\end{array}\right.$ 在点 $x=2$ 处连续, 则 $a=$
函数 $f(x)=\frac{|x|}{\sin x}$ 的间断点为
函数 $y=2 x^2-\ln x$ 的单调减区间为
椭圆曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 相应的点处的切线方程为
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-2 x^3\right)+x f(x)}{x^6}=3$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 x^2}{x^5}=$
设函数 $f(x)=\frac{(x+1)^n}{\mathrm{e}^{x^2}}$, 则 $f^{(n)}(-1)=$
$\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\cos \frac{x^2}{y}\right)^{\frac{y^2+x}{x^3}}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2+x^2}$.
设函数 $f(u)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数, 且 $z=f\left(\mathrm{e}^x \cos y\right)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{2 x}\left(z+\mathrm{e}^x \cos y\right) .
$$
(I) 验证: $f^{\prime \prime}(u)-f(u)=u$;
(II) 若 $f(0)=f^{\prime}(0)=1$, 求出函数 $f(u)$ 的表达式.
求极限 $ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}\right)}{n}\right)^{\frac{1}{x}} $
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^2-\cos x}{\sin ^2 x}$.
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(3)=$
设函数 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,4]$, 则函数 $f\left(x^2\right)$ 的定义域是
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$
曲线 $y=\frac{x^2}{9 x^2-1}$ 的水平渐近线方程为
二、解答题 （ 共 19 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
对于数列 $\left\{x_n\right\}$, 若 $x_{2 k-1} \rightarrow a(k \rightarrow \infty), x_{2 k} \rightarrow a(k \rightarrow \infty)$, 证明: $x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$.
求 $f(x)=\frac{x}{x}, \varphi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限, 并说明它们在 $x \rightarrow 0$ 时的极限是否存在.
根据函数极限的定义证明: 函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在并且相等。
根据定义证明 $y=x \sin \frac{1}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小.
函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界? 这个函数是不是 $x \rightarrow+\infty$ 时的无穷大?为什么?
证明: 函数 $y=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 内无界, 但这个函数不是 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷大.
求函数 $f(x)=\frac{4}{2-x^2}$ 的图形的渐近线.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$.
求极限
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$.
下列陈述中, 哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由; 如果是错的, 试给出一个反例.
(1) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在, 但 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 不存在,那么 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在;
(2) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 和 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 都不存在, 那么 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在;
(3) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在, 但 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 不存在, 那么 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在;
(4) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 和 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 都不存在,那么 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} x \cot x$;
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n}$ ( $x$ 为不等于零的常数, $\left.n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.
计算下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$;
(3) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$;
(4) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}$
利用极限准则证明：$ \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt[n]{1+x}=1$
数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$. 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求此极限.
证明: 当 $x \rightarrow 0$ 时, 有
(1) $\arctan x \sim x$;
(2) $\sec x-1 \sim \frac{x^2}{2}$.
利用等价无穷小计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^3 x} $
证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1 .
$$