一、单选题 （共 40 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
下列各式正确的是:
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=-e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域有定义, 则它在该点处可导的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x^2}{1+b x}$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 无穷小量 $\alpha=\frac{1}{x^a}, \beta=\frac{1}{\ln ^b x}, \gamma=\mathrm{e}^{-\alpha}$ ( $a, b, c$ 全大于零), 从低阶到 高阶正确的排序为
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$.
$\text{B.}$ $\beta, \alpha, \gamma$.
$\text{C.}$ $\alpha, \gamma, \beta$.
$\text{D.}$ $\gamma, \alpha, \beta$.
设常数 $a>0$, 若当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $\ln x \leqslant x^a$, 则
$\text{A.}$ $a \geqslant \mathrm{e}$.
$\text{B.}$ $a \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ $0 < a < $ e.
$\text{D.}$ $0 < a < \frac{1}{\mathrm{e}}$.
已知积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x(n \geqslant 0)$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $m>-2$ 且 $n-m>1$.
$\text{B.}$ $m>0$ 且 $n-m>1$.
$\text{C.}$ $m>0$ 且 $n-m < 1$.
$\text{D.}$ $m>-2$ 且 $n-m < 1$.
设 $f(x)=\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 无法确定 $f^{\prime \prime}(0)$ 是否存在.
设 $I=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\beta x} \cos q x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=q^2$.
$\text{B.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=p^2+q^2$.
$\text{C.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{p}{p^2+q^2}$
$\text{D.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{1}{p^2+q^2}$.
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$, 则必定存在一个 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调增加, 在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调减少.
$\text{B.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0\right]$ 单调减少,在 $\left[x_0, x_0+\delta\right)$ 单调增加.
$\text{C.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凸的.
$\text{D.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 内是凹的.
设常数 $\alpha>0, \beta>0$, 若反常积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{1}{(-\cos x)^\alpha(1+\cos x)^\beta} \mathrm{d} x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < 1$.
$\text{B.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $0 < \alpha < 1,0 < \beta < \frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $0 < \alpha < \frac{1}{2}, 0 < \beta < 1$.
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$,
则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设有函数序列 $f_n(x)=(n+1) x^n, 0 < x < 1, n=1,2, \cdots$, 下列四个结论:(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0, x \in(0,1)$; (2) 若数列 $x_n \in(0,1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n\left(x_n\right)=0$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)=0, x \in(0,1)$; (4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=0$ 中, 正确的是 ( ).
$\text{A.}$ (1) 和 (2)
$\text{B.}$ (3) 和 (4)
$\text{C.}$ (1) 和 (3)
$\text{D.}$ (2) 和 (4)
下列数列中哪个是收敛数列
$\text{A.}$ $x_n=\sin n$
$\text{B.}$ $x_n=\frac{2^n-1}{3^n}$
$\text{C.}$ $x_n=n-\frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $x_n=(-1)^n+ \sin n$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan 2 x}{2 x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
点 $x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 第二类间断点
设 $f(x)=\arcsin x$, 则 $f^{\prime \prime}(0)$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -1
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^n \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 其中 $a$ 为常数, $n$ 为正整 数, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=12, n=4$
$\text{B.}$ $a=12, n=3$
$\text{C.}$ $a=6, n=4$
$\text{D.}$ $a=6, n=3$
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的二阶偏导数 $f^{\prime \prime}{ }_{x x}(0,0), f^{\prime \prime}{ }_{y y}(0,0)$ 均存在, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}{ }_x(x, y), f^{\prime}{ }_y(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}{ }_x(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
$\text{D.}$ $f^{\prime} y(x, 0)$ 在点 $x=0$ 处连续
设 $I_1=\iint_D(x+y) \operatorname{sgn}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D(x-y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{l}1, x>0, \\ 0, x=0, \\ -1, x < 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1=I_2$
$\text{D.}$ $I_1=-I_2$
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是
① 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3 \\ y=t^2\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=f(x)$
②$\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$
③$\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t$
④$\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}$
$\text{A.}$ ①④②③
$\text{B.}$ ②④①③
$\text{C.}$ ①④③②
$\text{D.}$ ④②①③
2. 如果一个二元函数 $f(x, y)$ 可以写为一个关于 $x$ 的函数 $g(x)$ 乘以一个关于 $y$ 的函数 $h(y)$, 也就是 $f(x, y)=g(x) h(y)$ 的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离”, 假定下列的函数中 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
①. 若 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{x+y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
②. 若 $f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{x y}$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
③. 若 $f(x, y)>0$ 并且 $\frac{\partial^2(\ln f(x, y))}{\partial x \partial y}=0$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
④. 若 $f(x, y)>0$ 并且满足 $\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot f(x, y)$, 则 $f(x, y)$ 关于变量 $x, y$ 可分离
$\text{A.}$ ②
$\text{B.}$ ①③④
$\text{C.}$ ②④
$\text{D.}$ ①③
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{C.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不可导, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续, 则 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 中至少有一个不存在.
$\text{C.}$ 若 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左可导并且右可导.
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某个邻域内有定义, 则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x \sin x}=-2$, 则在 $x=0$ 处 $f(x)$
$\text{A.}$ 不可导.
$\text{B.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ 取极大值.
$\text{D.}$ 取极小值.
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ 则在区间 $[0,1]$ 上
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x-1), & x \geq 1\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x+1)-1, & x \geq 1\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geq 1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geq 1\end{cases}$
设函数 $f(x)$ 是连续函数, 则下列结论中正确的个数是
(1)若 $f(x)$ 在任意区间 $[a, b]$ 上满足 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x) \equiv 0$.
(2)若 $f(x) \geq 0$, 并且存在区间 $[a, b]$ 使得 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x)=0(x \in[a, b])$.
(3) 若 $\left[a_1, b_1\right] \subset[a, b]$, 则 $\int_{a_1}^{b_1} f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$.
(4) 设 $g(x)$ 连续. 若 $f(x)>g(x), a, b$ 为不相等的常数, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x>\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=\infty$, 则
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=\infty$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)-g(x)]=\infty$.
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)=\infty$.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$.
设当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\left(a x^2+b x+1\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=1, b=1$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, \quad b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\sin \frac{\pi}{2} x, & x \leqslant 1, \\ 2-\sqrt{x-1}, & x>1 .\end{array}\right.$ 对 $f(x)$ 给出两个命题:①点 $x=1$ 是 $f(x)$ 的一个极 值点; ②点 $(1,2)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一个拐点. 则
$\text{A.}$ ①和 ② 都正确.
$\text{B.}$ ①正确,但② 不正确.
$\text{C.}$ ① 不正确, 但② 正确.
$\text{D.}$ ①和② 都不正确.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又 $f(0)=2 f(1)=f(2)=2$, 则
$\text{A.}$ $1 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 2$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{2} < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < \frac{5}{2}$.
$\text{C.}$ $2 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 3$.
$\text{D.}$ $3 < \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x < 4$.
下列命题中不正确的是
$\text{A.}$ 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左、右导数均存在但不相等, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续。
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 。
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A, A$ 为有限值, $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 不存在, 则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)$ 不存在
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在, 但 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 存在, 则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在
函数 $f(x)=|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}, x \in(-\infty,+\infty)$, 是
$\text{A.}$ 单调函数
$\text{B.}$ 周期函数
$\text{C.}$ 偶函数
$\text{D.}$ 有界函数
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(x^3-1\right) \sin x}{|x|\left(1+x^2\right)}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array} x \in(-\infty,+\infty)\right.$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界
$\text{B.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 有界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 无界
$\text{C.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 无界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 有界
$\text{D.}$ 对任意 $X>0$, 当 $|x| \leqslant X$ 时, $f(x)$ 有界, 但在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内为连续的奇函数, $a$ 为常数, 则必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x \mathrm{~d} u \int_a^u t f(t) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_a^x \mathrm{~d} u \int_0^u f(t) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^x \mathrm{~d} u \int_a^u f(t) \mathrm{d} t$
$\text{D.}$ $\int_a^x \mathrm{~d} u \int_0^u t f(t) \mathrm{d} t$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷大
$\text{B.}$ 无穷小
$\text{C.}$ 有界但非无穷小
$\text{D.}$ 无界但非无穷大
当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
$\text{A.}$ $(1+x)^{x^2}-1$.
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{x^4-2 x}-1$.
$\text{C.}$ $\int_0^{x^2} \sin t^2 \mathrm{~d} t$.
$\text{D.}$ $\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$.