一、填空题 （共 15 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\ln x}{x}$ ，则 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\int \frac{\sin x d x}{\sin x+2 \cos x}$
求不定积分 $\int x^2 \arctan x d x$
设 $\int f(x) d x=\sin 2 x+c$, 则 $f(x)=$
已知 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x^2 f(\ln x) d x=$
$\int \sqrt{x^2+2 x+2} d x$;
设 $f(x)$ 满足 $\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=x \cos \pi x$, 则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$
设 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int a f(a x) d x=$
设 $f(x)$ 可表示为 $f(x)=2 x+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 则 $f(x)=$
已知微分方程 $y^{\prime}-x \sin 2 y=\frac{\ln x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}} \cos ^2 y$, 则不定积分 $\int x \tan y \mathrm{~d} x=$
极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2} t} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{t^2-x^2}} \sin \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} y}{t^4}=$
计算不定积分 $\int \frac{\ln \ln x}{x} d x$
求不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{4-x^4}} \mathrm{~d} x$;